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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Sn (Gruppe der Permutationen)
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Sn (Gruppe der Permutationen): Beweis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:15 Mi 27.10.2004
Autor: michaelkrefeld

Die Anzahl der Elemente von Sn beträgt n!

Dies soll ich zeigen.

Anschaulich ist das ja schon klar.

S3={(123);(132);(213);(231);(312);(321)} 6 Elemente 3!=6

Aus der Kombinatorik wusste ich ja schon, wenn ich n Elemente auf n Plätzen anordnen soll und jedes Element nur einmal vorkommt, dann gibt es n! Möglichkeiten.

Doch wie wird dies bewiesen?



        
Bezug
Sn (Gruppe der Permutationen): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:08 Do 28.10.2004
Autor: Wurzelpi

Hallo!

> Die Anzahl der Elemente von Sn beträgt n!

Das ist korrekt!  

>  
> Anschaulich ist das ja schon klar.

Anscheinend nicht, denn Deine aufgeführte Gruppe ist nicht [mm] S_3!!! [/mm]
  

> S3={(123);(132);(213);(231);(312);(321)} 6 Elemente 3!=6

Zum Beispiel ist doch (132)=(213) und (123)=(312).

Ich helfe Dir mal:
In jeder symmetrischen Gruppe ist schon  einmal die Identität!

[mm] S_3 [/mm] = {id=1, a=(12), b=(13), c=(2,3), ab=(12)(13)=(321)=(132)=bc,
ac=(12)(23)=(123)}

Somit haben wir 6 Elemente!
Jetzt stelle Dir mal eine Menge [mm] M={a_1,...a_n} [/mm] vor mit f aus [mm] S_M. [/mm]

Bedingung an [mm] f(a_1): f(a_1) [/mm] aus M, also n Möglichkeiten.
Bedingung an [mm] f(a_2): f(a_2) [/mm] aus [mm] M-{f(a_1)}, [/mm] also n-1 Mögleichkeiten.
.
.
.
Alles klar?

Gruss, Wurzelpi


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