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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:25 Do 28.01.2010 | | Autor: | Sea2605 |
Hi !
Habe in meinem Skript folgendes stehen:
Def:
Ein Vektorraum V heißt endlich erzeugt, wenn es ein endliches System
(v1,...,vr) [mm] \in [/mm] V gibt, dass V erzeugt. d.h. es gilt <v1,...,vr>.
Nach meinem Verständnis heißt das, dass ein VR dann "endlich erzeugt"
heißt, wenn es ein Erzeugendensys (bestehend aus v1-vr bzw. aufgespannt durch sie) hat.
Hat das nicht jeder VR?! Das liest sich so, als ob es auch VR ohne gäbe.
Ich dachte immer, dass jeder VR eine Basis (=minimales EZS =reduziertes
EZS) hat.
Könntet ihr mir ein Gegenbeispiel nennen?!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
es geht um endlich erzeugt.
Unendlichdimensionale VRe sind halt nicht endlich erzeugt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:36 Do 28.01.2010 | | Autor: | Sea2605 |
heißt das, dass unendliche VR keine Basis mehr haben,
ergo auch kein Erzeugendensys?
tschuldige die frage, soweit bin ich mitm lernen noch nicht,
würde mich aber brennend interessieren.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:58 Do 28.01.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> heißt das, dass unendliche VR keine Basis mehr haben,
> ergo auch kein Erzeugendensys?
Nein, es bedeutet, dass ein unendlicher Vektorraum keine endliche Basis hat und damit auch kein endliches Erzeugendensystem. Eine Basis eines unendlichen Vektorraums enthält unendlich viele Elemente.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:12 Fr 29.01.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Rainer,
du hast da zweimal -dimensional vergessen:
> Nein, es bedeutet, dass ein unendlichdimensionaler Vektorraum keine
> endliche Basis hat und damit auch kein endliches
> Erzeugendensystem. Eine Basis eines unendlichdimensionalen Vektorraums
> enthält unendlich viele Elemente.
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:06 Fr 29.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> heißt das, dass unendliche VR keine Basis mehr haben,
> ergo auch kein Erzeugendensys?
> tschuldige die frage, soweit bin ich mitm lernen noch
> nicht,
> würde mich aber brennend interessieren.
Man kann zeigen: jeder Vektorraum hat eine Basis
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:40 Fr 29.01.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo Fred!
> > heißt das, dass unendliche VR keine Basis mehr haben,
> > ergo auch kein Erzeugendensys?
> > tschuldige die frage, soweit bin ich mitm lernen noch
> > nicht,
> > würde mich aber brennend interessieren.
>
>
> Man kann zeigen: jeder Vektorraum hat eine Basis
Wenn man an's Auswahlaxiom glaubt, ja.
(Aber gerade als Funktionalanalytiker sollte man das ;) )
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:45 Fr 29.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred!
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> > > heißt das, dass unendliche VR keine Basis mehr haben,
> > > ergo auch kein Erzeugendensys?
> > > tschuldige die frage, soweit bin ich mitm lernen
> noch
> > > nicht,
> > > würde mich aber brennend interessieren.
> >
> >
> > Man kann zeigen: jeder Vektorraum hat eine Basis
>
> Wenn man an's Auswahlaxiom glaubt, ja.
>
> (Aber gerade als Funktionalanalytiker sollte man das ;) )
>
> LG Felix
>
Hallo Felix
Ja ans Auswahlaxiom glaube ich. Du hast natürlich recht. Aber dieses Axiom habe ich so "verinnerlicht", dass ich oft (so auch oben) gar nicht daran denke, es "in Frage zu stellen"
Gruß FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:49 Fr 29.01.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo Fred!
> Ja ans Auswahlaxiom glaube ich. Du hast natürlich recht.
> Aber dieses Axiom habe ich so "verinnerlicht", dass ich oft
> (so auch oben) gar nicht daran denke, es "in Frage zu
> stellen"
Das geht mir meistens sehr aehnlich...
Ich hatte vorhin beim Schreiben der Nachricht etwas nachgeschaut, das Auswahlaxiom ist offenbar aequivalent dazu, dass jeder Vektorraum eine Basis hat (Blass, A., 1984. "Existence of bases implies the axiom of choice," in Axiomatic Set Theory, Baumgartner, Martin and Shelah (eds.), AMS, pp. 31-33.). Mir war das bisher noch nicht bekannt, aber es ist gut zu wissen :)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:40 Fr 29.01.2010 | | Autor: | fred97 |
Hallo Felix,
dann interessiert Dich sicher auch ![[]](/images/popup.gif) dies
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:25 Mi 03.02.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo zusammen,
> Ich hatte vorhin beim Schreiben der Nachricht etwas
> nachgeschaut, das Auswahlaxiom ist offenbar aequivalent
> dazu, dass jeder Vektorraum eine Basis hat (Blass, A.,
> 1984. "Existence of bases implies the axiom of choice," in
> Axiomatic Set Theory, Baumgartner, Martin and Shelah
> (eds.), AMS, pp. 31-33.). Mir war das bisher noch nicht
> bekannt, aber es ist gut zu wissen :)
wen's interessiert, das Paper laesst sich von der Homepage des Autors herunterladen.
Der Beweis ist auch nicht sonderlich kompliziert. :)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:44 Fr 29.01.2010 | | Autor: | SEcki |
> Wenn man an's Auswahlaxiom glaubt, ja.
Immer diese Aussage ... ich habe bisher niemanden, dessen Hauptarbeitsgebiet nicht Logik ist, an dem AoC zweifeln sehn. Ihr? Ich fände es jedenfalls mal cool, bei einem Satz zu sagen "Aber nur, wenn du an das Fundierungsaxiom glaubst!" - wäre mal ne Abwechslung.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:36 Sa 30.01.2010 | | Autor: | felixf |
Moin SEcki!
> > Wenn man an's Auswahlaxiom glaubt, ja.
>
> Immer diese Aussage ... ich habe bisher niemanden, dessen
> Hauptarbeitsgebiet nicht Logik ist, an dem AoC zweifeln
> sehn. Ihr?
Ich akzeptiere das Auswahlaxiom, hab aber auch im Hinterkopf dass es unabhaengig von den restlichen Axiomen ist. Manchmal reizt es mich dann, darueber nachzudenken, was man eigentlich alles ohne das Axiom machen kann.
> Ich fände es jedenfalls mal cool, bei einem
> Satz zu sagen "Aber nur, wenn du an das Fundierungsaxiom
> glaubst!" - wäre mal ne Abwechslung.
Das stimmt :) Allerdings macht das Fundierungsaxiom spontan "mehr Sinn" als das Auswahlaxiom. Gerade, wenn man bedenkt, wozu das Auswahlaxiom aequivalent ist, ist das Auswahlaxiom doch eine sehr starke Aussage.
Ich finde es immer schoen zu wissen, welche Aussagen man auch ohne das Auswahlaxiom bekommt, und welche (mit bisher bekannten Mitteln) nicht, und welche definitiv nicht (weil sie aequivalent zum Auswahlaxiom sind).
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:56 Sa 30.01.2010 | | Autor: | SEcki |
> Ich akzeptiere das Auswahlaxiom, hab aber auch im
> Hinterkopf dass es unabhaengig von den restlichen Axiomen
> ist.
Klar, so ein bisschen Grundlagenlogik ist ja nett, will ich gar nicht abschreiten. ;)
> Manchmal reizt es mich dann, darueber nachzudenken,
> was man eigentlich alles ohne das Axiom machen kann.
Ich sag doch - das was manche Logiker machen! Anstatt dem AoC kann man das countable AoC nehmen und schaun, wie weit man kommt. Und schaun, was dann noch alles äquivalent ist - hier finde ich wieder einmal diesen Abschnitt im Wiki ziemlich eindrucksvoll.
> Das stimmt :) Allerdings macht das Fundierungsaxiom spontan
> "mehr Sinn" als das Auswahlaxiom.
Öhm, spontan fand ich immer, das das AoC mehr Sinn macht als das Fundierungsaxiom. Ich find das AoC so wie es da steht sehr natürlich, wobei natürlich ...
> Gerade, wenn man bedenkt,
> wozu das Auswahlaxiom aequivalent ist, ist das Auswahlaxiom
> doch eine sehr starke Aussage.
... das hier manches relativiert. :)
SEcki
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