Skizzieren in der Gaußebene < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Die Frage lautet :
Skizzieren Sie die folgenden Mengen in der Gauß'schen Ebene:
M1 = { z [mm] \in \IC, [/mm] 1 <= | z - i | <= 3}
M2 = { z [mm] \in \IC, [/mm] Re z - Im z >= 1} |
Meine Idee ist:
z als a + bi darzustellen.
M1 = 1 <= | a + (b - 1)i | <= 3
M1 = 1 <= [mm] \wurzel{a^{2} + (b^{2} - 2b + 1) } [/mm] <= 3
M2 = a - (b -1) >= -1
M2 = a >= -2 + b
a in M1 einsetzen
nach ein paar Schritten kommt man auf:
1 <= [mm] \wurzel{2b^{2} - 6b + 5 } [/mm] <= 3
aber ich würde so auf 4 Lösungen für b kommen. Ich denke, ich habe was falsches gemacht. Bin eurer Hilfe dankbar :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo informatiker,
zunächst zur Menge M1
> Die Frage lautet :
>
> Skizzieren Sie die folgenden Mengen in der Gauß'schen
> Ebene:
>
> [mm] M1=\{z\in\IC, 1<=|z-i|<= 3\}
[/mm]
Das ganze sollte dich eigentlich an einen Kreis erinnern.
Daher zur Überlegung:
Wie würde die Menge [mm] M=\{ z\in\IC|\ |z|<1 \} [/mm] aussehen?
Beschäftige dich daher erst einmal mit folgender Menge:
[mm] M=\{ z\in\IC|\ |z-i|\le 3 \}
[/mm]
Das i ist ein Maß für eine gewisse Verschiebung - noch so als Tipp.
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Vielen Dank für den Tipp Richie :)
Jetzt ist mir M1 klar geworden. Wie kann ich aber den negativen Radius (-1) darstellen?
Und soll man bei (Im z) das i hinfügen oder nicht?
Danke noch mal ;)
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Hallo informatiker,
> Vielen Dank für den Tipp Richie :)
> Jetzt ist mir M1 klar geworden. Wie kann ich aber den
> negativen Radius (-1) darstellen?
Welchen negativen Radius? Das gibt es so natürlich nicht. Ich weiß auch nicht, bei welcher Menge du gerade bist.
> Und soll man bei (Im z) das i hinfügen oder nicht?
>
> Danke noch mal ;)
Für die Menge [mm] M_2:
[/mm]
Sei z=a+ib, dann ist Re(z)-Im(z)=a-b.
Das heißt [mm] a-b\ge{1} [/mm] (*)
Wie die Gaußsche Zahlenebene aufgebaut ist, weißt du gewiss. Die "y-Achse" ist b und die "x-Achse" wird mit a identifiziert.
Ungleichung (*) ist also äquivalent zu [mm] x-y\ge{1}. [/mm] Vielleicht wird einem hier klarer wie man nun weiter vorgehenen kann. Es ist nämlich [mm] y\le{x-1}. [/mm] Wie dies in einem Koordinatensystem ausschaut weißt du gewiss.
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Ich habe mich versehen wegen dem negative Radius. Hab's als -1 gesehen.
So ist mir alles ganz klar geworden :)
Danke :)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:52 Di 25.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich habe mich versehen wegen dem negative Radius. Hab's als
> -1 gesehen.
> So ist mir alles ganz klar geworden :)
> Danke :)
okay, dann mal zusammengefasst:
[mm] $$M_1 [/mm] = [mm] \{ z \in \IC, \;\; 1 \le | z - i | \le 3\}$$
[/mm]
Das ist in der komplexen Ebene nichts anderes als der abgeschlossene
Kreisring mit Mittelpunkt [mm] $i\,,$ [/mm] Innenradius [mm] $1\,$ [/mm] und Außenradius [mm] $3\,.$
[/mm]
Anders gesagt:
Fasst man [mm] $\IC$ [/mm] im Sinne des [mm] $\IR^2$ [/mm] als Gaussche Zahlenebene auf, so
ist [mm] $M_1$ [/mm] nichts anderes als der abgeschlossene Kreisring mit Mittelpunkt $(0,1) [mm] \in \IR^2\,,$ [/mm]
Innenradius [mm] $1\,$ [/mm] und Außenradius [mm] $3\,.$
[/mm]
Beweis:
Wir schreiben [mm] $z=\text{Re}(z)+i*\text{Im}(z) \in \IC$ [/mm] auch als
[mm] $z=(\text{Re}(z),\;\text{Im}(z)) \in \IR^2\,,$ [/mm] (eigentlich ist das eine eineindeutige
Identifikation, d.h. die Abbildung [mm] $\IC \to \IR^2$ [/mm] mit [mm] $\IC \ni [/mm] x+i*y [mm] \mapsto [/mm] (x,y) [mm] \in \IR^2$ [/mm]
($x,y [mm] \in \IR$) [/mm] ist bijektiv!), dann gilt:
$$z [mm] \in M_1 \gdw [/mm] 1 [mm] \le [/mm] |z-i| [mm] \le [/mm] 3 [mm] \gdw [/mm] 1 [mm] \le |\text{Re}(z)+i*\text{Im}(z)-i*1| \le 3\gdw [/mm] 1 [mm] \le \sqrt{\text{Re}^2(z)+(\text{Im}(z)-1)^2}\le [/mm] 3$$
[mm] $$\iff 1^2 \le (\text{Re}(z)-0)^2+(\text{Im}(z)-1)^2 \le 3^2\,.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \blacksquare$$
[/mm]
(Wenn Du das ein wenig 'schulgemäßer' haben willst, ersetze
[mm] $x:=\text{Re}(z)$ [/mm] und [mm] $y:=\text{Im}(z)\,.$)
[/mm]
P.S. Man kann auch schreiben
[mm] $$M_1=K_3(i) \setminus B_1(i)\,,$$
[/mm]
wobei [mm] $K_3(i):=\{z \in \IC:\;\;|z-i| \le 3\}$ [/mm] die abgeschlossene
Kreisscheibe mit Mittelpunkt [mm] $i\,$ [/mm] und Radius [mm] $3\,$ [/mm] ist und [mm] $B_1(i):=\{z \in \IC:\;\;|z-i| < 1\}$
[/mm]
die offene Kreisscheibe mit Mittelpunkt [mm] $i\,$ [/mm] und Radius [mm] $1\,$ [/mm] ist! Analog
kann man solche offenen/abgeschlossenen Kreisscheiben auch im [mm] $\IR^2$
[/mm]
definieren und entsprechende mit obigen identifizieren!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:24 Di 25.12.2012 | | Autor: | Richie1401 |
> Hallo,
>
> > Ich habe mich versehen wegen dem negative Radius. Hab's als
> > -1 gesehen.
> > So ist mir alles ganz klar geworden :)
> > Danke :)
>
> okay, dann mal zusammengefasst:
> [mm]M_1 = \{ z \in \IC, \;\; 1 \le | z - i | \le 3\}[/mm]
>
> Das ist in der komplexen Ebene nichts anderes als die
> abgeschlossene
> Kreisscheibe mit Mittelpunkt [mm]i\,[/mm] und Radius [mm]3\,.[/mm]
Guten Morgen Marcel,
wir haben aber noch die Bedingung [mm] $1\le|z-i|$. [/mm] Für [mm] M_1 [/mm] entsteht wohl eher ein Kreisring.
Anm.: Ich hatte nur zur Anschauung das Beispiel eines Kreises in den Raum gestellt.
Viele Grüße
>
> Anders gesagt:
> Fasst man [mm]\IC[/mm] im Sinne des [mm]\IR^2[/mm] als Gaussche Zahlenebene
> auf, so
> ist [mm]M_1[/mm] nichts anderes als die abgeschlossene Kreisscheibe
> des
> [mm]\IR^2[/mm] mit Mittelpunkt [mm](0,1) \in \IR^2[/mm] und Radius [mm]3\,.[/mm]
>
> Beweis:
> Wir schreiben [mm]z=\text{Re}(z)+i*\text{Im}(z) \in \IC[/mm] auch
> als
> [mm]z=(\text{Re}(z),\;\text{Im}(z)) \in \IR^2\,,[/mm] (eigentlich
> ist das eine eineindeutige
> Identifikation, d.h. die Abbildung [mm]\IC \to \IR^2[/mm] mit [mm]\IC \ni x+i*y \mapsto (x,y) \in \IR^2[/mm]
> ([mm]x,y \in \IR[/mm]) ist bijektiv!), dann gilt:
> [mm]z \in M_1 \gdw |z-i| \le 3 \gdw |\text{Re}(z)+i*\text{Im}(z)-i*1| \le 3\gdw \sqrt{\text{Re}^2(z)+(\text{Im}(z)-1)^2}\le 3[/mm]
>
> [mm]\iff (\text{Re}(z)-0)^2+(\text{Im}(z)-1)^2 \le 3^2\,.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \blacksquare[/mm]
>
> (Wenn Du das ein wenig 'schulgemäßer' haben willst,
> ersetze
> [mm]x:=\text{Re}(z)[/mm] und [mm]y:=\text{Im}(z)\,.[/mm])
>
> Gruß,
> Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:37 Di 25.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Richie,
> > Hallo,
> >
> > > Ich habe mich versehen wegen dem negative Radius. Hab's als
> > > -1 gesehen.
> > > So ist mir alles ganz klar geworden :)
> > > Danke :)
> >
> > okay, dann mal zusammengefasst:
> > [mm]M_1 = \{ z \in \IC, \;\; 1 \le | z - i | \le 3\}[/mm]
> >
> > Das ist in der komplexen Ebene nichts anderes als die
> > abgeschlossene
> > Kreisscheibe mit Mittelpunkt [mm]i\,[/mm] und Radius [mm]3\,.[/mm]
> Guten Morgen Marcel,
>
> wir haben aber noch die Bedingung [mm]1\le|z-i|[/mm]. Für [mm]M_1[/mm]
> entsteht wohl eher ein Kreisring.
das stimmt - ich bin wohl blind. Die Bedingung $1 [mm] \le [/mm] |z-i|$ hab' ich gar
nicht gesehen (sowas passiert halt bei C&P mal ^^ ).
Danke! 
P.S.: Hab' meine Antwort entsprechend editiert!
Gruß,
Marcel
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