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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:50 Do 02.06.2005 | | Autor: | matthes |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Die Aufgabe ist:
Skizzieren Sie den Graphen einer Funktion, der den folgenden Bedingungen genügt:
-Genau ein Wendepunkt, kein Extremum
-...Drei Wendepunkte, kein Extrempunkt
-Genau zwei Tiefpunkte, genau ein Hochpunkt, genau zwei Wendepunkte
-Genau ein Tiefpunkt, kein Hochpunkt, zwei Wendepunkte
(alles mit Funktionsvorschrift)
Fragen:
1. Extremum = Extrempunkt?
2. Wie geht man an die Aufgaben ran, wenn man nicht alle Graphen auswendig kennt?(Also z.B. nicht weiss, dass [mm] y=x^3 [/mm] "genau ein Wendepunkt, kein Extremum" hat)
Ein Prinzip bzw. eine Möglichkeit wäre gut, die man anwenden kann, um einen Graphen mit bestimmten Bedingungen herauszufinden.
Danke
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Hallo!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Die Aufgabe ist:
>
> Skizzieren Sie den Graphen einer Funktion, der den
> folgenden Bedingungen genügt:
>
>
> -Genau ein Wendepunkt, kein Extremum
> -...Drei Wendepunkte, kein Extrempunkt
> -Genau zwei Tiefpunkte, genau ein Hochpunkt, genau zwei
> Wendepunkte
> -Genau ein Tiefpunkt, kein Hochpunkt, zwei Wendepunkte
>
> (alles mit Funktionsvorschrift)
>
> Fragen:
>
> 1. Extremum = Extrempunkt?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") - also entweder ein Maximum oder ein Minimum (auch Hochpunkt und Tiefpunkt genannt  )
> 2. Wie geht man an die Aufgaben ran, wenn man nicht alle
> Graphen auswendig kennt?(Also z.B. nicht weiss, dass [mm]y=x^3[/mm]
> "genau ein Wendepunkt, kein Extremum" hat)
>
> Ein Prinzip bzw. eine Möglichkeit wäre gut, die man
> anwenden kann, um einen Graphen mit bestimmten Bedingungen
> herauszufinden.
Mmh - also, ich glaube, so etwas musste ich noch nie machen. Aber ich würde sagen, dass du es genau andersrum probieren kannst, wie wenn du so etwas von einem Graphen bestimmen sollst. Wenn du also jetzt eine Funktion suchst, die z. B. zwei Hochpunkte und einen Tiefpunkt hat, dann nimm eine allgemeine Funktionsvorschrift (den Grad musst du dir dann allerdings schon überlegen...), bilde die Ableitungen (allgemein) davon, und dann machst du quasi eine Steckbriefaufgabe. Also in diesem Fall hier müsste es dann drei Nullstellen für die Ableitung geben (vielleicht fängst du auch einfach damit an), wobei die zweite Ableitung an zwei Stellen <0 sein muss (für die Hochpunkte) und an einer Stelle >0 (für den Tiefpunkt).
Verstehst du, was ich meine?
Keine Ahnung, ob es da noch ne andere Möglichkeit gibt...
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Hallo matthes,
Wir freuen uns stets über eine freundliche Begrüßung, du auch?
> Die Aufgabe ist:
>
> Skizzieren Sie den Graphen einer Funktion, der den
> folgenden Bedingungen genügt:
>
>
> -Genau ein Wendepunkt, kein Extremum
> -...Drei Wendepunkte, kein Extrempunkt
> -Genau zwei Tiefpunkte, genau ein Hochpunkt, genau zwei
> Wendepunkte
> -Genau ein Tiefpunkt, kein Hochpunkt, zwei Wendepunkte
>
> (alles mit Funktionsvorschrift)
>
> Fragen:
>
> 1. Extremum = Extrempunkt?
"jein": mit Maximum, Minimum, Extremum bezeichnet man die extremen Funktionswerte,
Hoch-, Tief- und Extrempunkte sind dann die zugehörigen Punkte des Graphen!
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> 2. Wie geht man an die Aufgaben ran, wenn man nicht alle
> Graphen auswendig kennt?(Also z.B. nicht weiss, dass [mm]y=x^3[/mm]
> "genau ein Wendepunkt, kein Extremum" hat)
>
Es handelt sich sicherlich um  ganzrationale Funktionen, die du beschreiben sollst.
Dazu solltest du den Zusammenhang zwischen dem Grad einer ganz-rat. Funktion und der Anzahl der Nullstellen, Extremstellen und Wendestellen kennen:
eine Funktion n-ten Grades hat
* höchstens n Nullstellen, n-1 Extremstellen, n-2 Wendestellen,
* zwischen zwei (benachbarten) Nullstellen mind. eine Extremstelle,
* zwischen zwei (benachbarten) Extremstellen einen Wendepunkt.
Wahrscheinlich kann man noch mehr solcher "Regeln" aufstellen, forsche selbst mal danach.
Ausgehend von den Nullstellen kannst du dir dann selbst Funktionen basteln, die die gewünschten Eigenschaften haben:
* eine Wendestelle, keine Extremstelle: $f(x) = [mm] ax^n$ [/mm] mit n ungerade;
* drei Wendestellen, keine Extremstelle:
f''(x) muss drei Nullstellen haben, aber f'(x) muss [mm] \ne0 [/mm] sein [mm] \Rightarrow [/mm] f ist also mind. vom Grad 5;
f'(x) darf nie 0 werden, ist also durchgehend positiv oder negativ.
Du merkst schon, jetzt fange ich auch an zu schwimmen; eine "ordentliche" Regel ist mir auch nicht bekannt.
Man muss schon mit den verschiedenen Eigenschaften der Funktionen "spielen". ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]")
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