Skalarprodukte von Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe hier so eine Aufgabe, und zwar:
Berechne folgende Skalarprodukte zweier Vektoren [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] und dem Winkel [mm] \gamma [/mm] = ( [mm] \vec{a}; \vec{b})
[/mm]
a = [mm] |\vec{a}| [/mm] = 5 ; b = [mm] |\vec{b}| [/mm] = 3
[mm] \gamma \in [/mm] { 0° ; 30° ; 45° ;.....}
Lösung:
Stammformel:
cos [mm] \gamma [/mm] = [mm] \frac{Skalarprodukt}{\vec{a} \* \vec{b}} [/mm]
für:
[mm] \gamma [/mm] = 0°
cos 0° = [mm] \frac{Skalarprodukt}{15} [/mm]
1 = [mm] \frac{Skalarprodukt}{15} [/mm]
SP = 15
Also kann man sagen:
SP= [mm] \frac{cos \gamma}{15} [/mm]
Stimmt das so, was ich mir da am rumrechnen bin?
Wäre nett wenn mir da jemand zustimmen könnte, oder mir jemand sagen kann, ob da ein Fehler drin steckt.
PS: die 15 ergibt sich durch
[mm] \wurzel{5²*3²}
[/mm]
MfG Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:49 Di 01.03.2005 | | Autor: | Paulus |
Hallo Sleepy
> Hallo,
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> ich habe hier so eine Aufgabe, und zwar:
>
> Berechne folgende Skalarprodukte zweier Vektoren [mm]\vec{a}[/mm]
> und [mm]\vec{b}[/mm] und dem Winkel [mm]\gamma[/mm] = ( [mm]\vec{a}; \vec{b})
[/mm]
>
>
> a = [mm]|\vec{a}|[/mm] = 5 ; b = [mm]|\vec{b}|[/mm] = 3
>
> [mm]\gamma \in[/mm] { 0° ; 30° ; 45° ;.....}
>
> Lösung:
>
> Stammformel:
>
> cos [mm]\gamma[/mm] = [mm]\frac{Skalarprodukt}{\vec{a} \* \vec{b}}[/mm]
>
Das ist nicht ganz sauber geschrieben. richtig sollte es so heissen:
[mm] $\cos \gamma [/mm] = [mm] \frac{\vec{a}*\vec{b}}{|\vec{a}|*|\vec{b}|}$
[/mm]
Jetzt wird das "Mal" im Zähler automatisch als Skalarprodukt interpretiert, weil es ein "Mal" zwischen zwei Vektoren ist.
Im Nenner wird automatisch das "Mal" als Produkt zwischen zwei reellen Zahlen interpretiert, weil der Bertag (die Länge) eines Vektors ja eine reelle Zahl ist.
Die Formel kannst du natürlich auch umstellen:
[mm] $\vec{a}*\vec{b}=|\vec{a}|*|\vec{b}|*\cos \gamma$
[/mm]
Damit hast du es dann mit dem Lösen deiner Gleichung viel einfacher, weil du einfach die verschiedenen Werte für Gamma eintragen kannst.
>
> für:
>
> [mm]\gamma[/mm] = 0°
>
> cos 0° = [mm]\frac{Skalarprodukt}{15}[/mm]
>
> 1 = [mm]\frac{Skalarprodukt}{15}[/mm]
>
> SP = 15
>
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> Also kann man sagen:
>
> SP= [mm]\frac{cos \gamma}{15}[/mm]
>
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> Stimmt das so, was ich mir da am rumrechnen bin?
>
> Wäre nett wenn mir da jemand zustimmen könnte, oder mir
> jemand sagen kann, ob da ein Fehler drin steckt.
>
> PS: die 15 ergibt sich durch
>
> [mm]\wurzel{5²*3²}
[/mm]
>
Das begreife ich nicht ganz! Es stimmt zwar, aber in der Formel heisst es ja direkt:
[mm] $\vec{a}|*|\vec{b}|$, [/mm] wobei die beiden Werte ja gegeben sind: 5 resp. 3.
Dann entsteht die 15 einfach durch Ausmultiplizieren der beiden Zahlen 5 und 3.
Vermutlich ist die Meinung noch die, dass du den Kosinus der gegebenen Winkel noch bestimmst, ohne Taschenrechner.
Kennst du den Wert für Kosinus von 30° und von 45°?
Mit lieben Grüssen
Paul
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> Hallo Sleepy
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> > Hallo,
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> > ich habe hier so eine Aufgabe, und zwar:
> >
> > Berechne folgende Skalarprodukte zweier Vektoren [mm]\vec{a}[/mm]
>
> > und [mm]\vec{b}[/mm] und dem Winkel [mm]\gamma[/mm] = ( [mm]\vec{a}; \vec{b})
[/mm]
>
> >
> >
> > a = [mm]|\vec{a}|[/mm] = 5 ; b = [mm]|\vec{b}|[/mm] = 3
> >
> > [mm]\gamma \in[/mm] { 0° ; 30° ; 45° ;.....}
> >
> > Lösung:
> >
> > Stammformel:
> >
> > cos [mm]\gamma[/mm] = [mm]\frac{Skalarprodukt}{\vec{a} \* \vec{b}}[/mm]
>
> >
>
> Das ist nicht ganz sauber geschrieben. richtig sollte es so
> heissen:
> [mm]\cos \gamma = \frac{\vec{a}*\vec{b}}{|\vec{a}|*|\vec{b}|}[/mm]
>
>
> Jetzt wird das "Mal" im Zähler automatisch als
> Skalarprodukt interpretiert, weil es ein "Mal" zwischen
> zwei Vektoren ist.
>
> Im Nenner wird automatisch das "Mal" als Produkt zwischen
> zwei reellen Zahlen interpretiert, weil der Bertag (die
> Länge) eines Vektors ja eine reelle Zahl ist.
>
> Die Formel kannst du natürlich auch umstellen:
>
> [mm]\vec{a}*\vec{b}=|\vec{a}|*|\vec{b}|*\cos \gamma[/mm]
>
> Damit hast du es dann mit dem Lösen deiner Gleichung viel
> einfacher, weil du einfach die verschiedenen Werte für
> Gamma eintragen kannst.
>
also für cos 0° = 15 ????
und
cos 30° = 13,35 ????
> >
> > für:
> >
> > [mm]\gamma[/mm] = 0°
> >
> > cos 0° = [mm]\frac{Skalarprodukt}{15}[/mm]
> >
> > 1 = [mm]\frac{Skalarprodukt}{15}[/mm]
> >
> > SP = 15
> >
> >
> > Also kann man sagen:
> >
> > SP= [mm]\frac{cos \gamma}{15}[/mm]
> >
> >
> > Stimmt das so, was ich mir da am rumrechnen bin?
> >
> > Wäre nett wenn mir da jemand zustimmen könnte, oder mir
>
> > jemand sagen kann, ob da ein Fehler drin steckt.
> >
> > PS: die 15 ergibt sich durch
> >
> > [mm]\wurzel{5²*3²}
[/mm]
> >
>
> Das begreife ich nicht ganz! Es stimmt zwar, aber in der
> Formel heisst es ja direkt:
> [mm]\vec{a}|*|\vec{b}|[/mm], wobei die beiden Werte ja gegeben sind:
> 5 resp. 3.
>
> Dann entsteht die 15 einfach durch Ausmultiplizieren der
> beiden Zahlen 5 und 3.
>
Ja, dummerweise passt das immer ganz gut, aber rein formal muß man ja die Beträge der beiden Vektoren jeweils mit 2 potenzieren und miteinander multiplizieren. Dann zieht man die Wurzel daraus. Klar kommt dann das gleiche heraus, aber so ist es formal richtig.
> Vermutlich ist die Meinung noch die, dass du den Kosinus
> der gegebenen Winkel noch bestimmst, ohne Taschenrechner.
>
> Kennst du den Wert für Kosinus von 30° und von 45°?
>
Versteh grade nicht worauf du hinaus willst. cos30° rechne ich mit dem Taschenrechner aus, das sind dann 0,89. Warum sollte ich das ohne Taschenrechner ausrechen?
> Mit lieben Grüssen
>
> Paul
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Hi, Sleepy,
> Ja, dummerweise passt das immer ganz gut, aber rein formal
> muß man ja die Beträge der beiden Vektoren jeweils mit 2
> potenzieren und miteinander multiplizieren. Dann zieht man
> die Wurzel daraus. Klar kommt dann das gleiche heraus, aber
> so ist es formal richtig.
Auch "formal" musst Du nicht so umständlich rechnen, denn im Nenner des Ausdrucks stehen definitionsgemäß die Beträge (hier 5 bzw. 3) und die sind in der Aufgabe vorgegeben!
> > Vermutlich ist die Meinung noch die, dass du den Kosinus
>
> > der gegebenen Winkel noch bestimmst, ohne
> Taschenrechner.
> >
> > Kennst du den Wert für Kosinus von 30° und von 45°?
> >
>
> Versteh grade nicht worauf du hinaus willst. cos30° rechne
> ich mit dem Taschenrechner aus, das sind dann 0,89. Warum
> sollte ich das ohne Taschenrechner ausrechen?
>
Ganz einfach: Weil exakte Werte verlangt werden, wenn sie ohne größeren Aufwand möglich sind: Exakt ist besser als gerundet!!!!
Und bei Deinen Werten geht's ja auch ohne Mühe, denn:
cos(30°) = [mm] \bruch{1}{2}\wurzel{3},
[/mm]
cos(45°) = [mm] \bruch{1}{2}\wurzel{2}.
[/mm]
mfG!
Zwerglein
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> Auch "formal" musst Du nicht so umständlich rechnen, denn
> im Nenner des Ausdrucks stehen definitionsgemäß die Beträge
> (hier 5 bzw. 3) und die sind in der Aufgabe vorgegeben!
Mit dem Skalarprodukt hast du wohl recht, aber in meinem Buch wird es so beschrieben und so müssen wir es auch rechnen.
> Ganz einfach: Weil exakte Werte verlangt werden, wenn sie
> ohne größeren Aufwand möglich sind: Exakt ist besser als
> gerundet!!!!
>
> Und bei Deinen Werten geht's ja auch ohne Mühe, denn:
> cos(30°) = [mm]\bruch{1}{2}\wurzel{3},
[/mm]
> cos(45°) = [mm]\bruch{1}{2}\wurzel{2}.
[/mm]
Woher hast du denn jetzt die Werte? Ist der Wert genauer als wenn ich cos30 im Taschenrechner eingebe??
Und nochwas:
Ich habe immer noch keine Antwort auf meine eigentliche Frage =(
Und zwar ob ich die Formel die ich umgestellt habe, so benutzen kann. Oder welche ich nehmen muß, bzw. wie ich an das SP komme.
MfG Stefan
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Hi, sleepy,
Paulus hat die Frage nach der "Formel" doch beantwortet:
[mm] \vec{a} \circ \vec{b} [/mm] = [mm] |\vec{a}|*|\vec{b}|*cos(\gamma).
[/mm]
In Worten: Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist das Produkt ihrer Längen und dem Cosinus des eingeschlossenen Winkels.
Und: Woher hab' ich die exakten Werte?
Die stehen in jeder besseren Formelsammlung!
(Und bei uns - Oberstufe - werden die auch so verlangt und keine gerundeten Zahlen!)
mfG!
Zwerglein
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Achso!! Muß ich irgendwie überlesen haben! Ok, danke nochmal.
Bis dann!
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