Skalarprodukt und Bilinearform < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:18 Mi 06.07.2011 | | Autor: | woo |
| Aufgabe | Es sei V = R_nxn der VR der nxn-Matrizen ueber R und U Unterraum der Matrizen von A von V, deren Spur gleich null ist.
a) Sei A fest gewaehlt. Sei [mm] ad_A(B):=AB-BA [/mm] und theta(B):= [mm] -B^t [/mm] mit B in V Elemente von [mm] End_R(V) [/mm] sind, die Elemente von U in Elemente von U ueberfuehren.
b) Auf V haben wir das Skalarprodukt <.,.>:VxV->R, (A,B) [mm] ->tr(A*B^t)
[/mm]
zeigen sie [mm]
c) Sei k:VxV->R, [mm] (A,B)->tr(ad_A*ad_B) [/mm] gegeben. und es ergibt sich bilinearform k_theta(A,B) := -k(A, theta(B))
Beweisen sie:
i) k(theta(A), theta(B)) = k(A,B) ist.
ii) k(g*A*g^-1, g*B*g^-1) = k(A,B) fuer g in R_nxn invertierbar
iii) k und k_theta symmetrisch
iv) k eingeschraenkt auf UxU nicht ausgeartet und k_theta eingeschraenkt auf UxU ein Skalarprodukt
d) zeigen sie: [mm] ad_H [/mm] ist diagonalisierbar und [mm] ad_x, ad_y [/mm] sind nilpotent.
e) bestimmen sie matrix von k eingeschraenkt auf UxU bzw k_theta eingeschraenkt auf UxU bzgl. Basis {H, X, Y} von U |
Wie ihr seht ist das eine ziemlich riesige Aufgabe und ich habe auch viele Fragen. Ich habe die Teilfragen nicht einzeln gepostet, weil ich denke, dass sich die antworten immer aus den aufgabenteilen davor herleiten lassen. Ich hoffe das ist OK so. Also nun zur Aufgabe. Hier meine Ideen und Fragen:
a)
Dass theta Elemente aus U nach U abbildet ist denke ich klar, weil U Untervektorraum und somit abgeschlossen. Bei [mm] ad_A(B) [/mm] sehe ich zwar, dass es bilinear ist und dass es bestimmt hilft, aber leider kann ich hier keinen beweis finden.
b) Diesen Aufgabenteil habe ich nun 5 mal nachgerechnet und ich komme immer auf das selbe Ergebnis, nur das bei mir das - im rechten Teil der Gleichung immer fehlt. Ist es symmetrisch, also das - egal oder rechne ich immer falsch?
c)
i) Hier ist mir schon gar nicht so klar, was genau k ist. Ich habe versucht die Verkettung zu berechnen und fuer dabei ein beliebiges C als Parameter fuer die [mm] ad_A, ad_B [/mm] zu betrachten, leider bekomme ich immer null raus. Ist das der Falsche Ansatz?
ii) ist es richtig, dass wenn ich g*A*g^-1 transponiere, dass g und g^-1 die Plaetze tauschen? oder was muss ich hier machen? Wenn ich hier einfach g und g^-1 wie skalare bei einer bilinearform rausziehe, dann klappt es nicht, aleider sehe ich nicht warum das nicht gehen sollte....
iv) was genau bedeutet, dass es ausgeartet ist? das konnte ich im Skript nicht finden...
Zum Rest kann ich ja noch spaeter Fragen, wenn ich diesen Teil erstmal verstehe. Ich habe es mal der Vollstaendigkeit halber auch gepostet.
Ich hoffe irgendjemand versteht dieses Wirrwarr.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo,
bei dieser Aufgabe brauchen wir zwei Eigenschaften der Spur einer Matrix: Zuerst brauchen wir $ tr(A [mm] \cdot [/mm] B) = tr(B [mm] \cdot [/mm] A)$ und $tr(A + B)= tr(A) + tr(B)$.
> Es sei V = R_nxn der VR der nxn-Matrizen ueber R und U
> Unterraum der Matrizen von A von V, deren Spur gleich null
> ist.
>
> a) Sei A fest gewaehlt. Sei [mm]ad_A(B):=AB-BA[/mm] und theta(B):=
> [mm]-B^t[/mm] mit B in V Elemente von [mm]End_R(V)[/mm] sind, die Elemente
> von U in Elemente von U ueberfuehren.
>
Mach dir klar, das [mm] $ad_{A}$ [/mm] eine Abbildung von $V [mm] \rightarrow [/mm] U$ ist. Rechne mal die Spur von [mm] $A\cdot [/mm] B - B [mm] \cdot [/mm] A$ für festes $A$ und beliebiges $B$ aus.
Falls $B [mm] \in [/mm] U$, dann ist auch [mm] $B^{t} \in [/mm] U$, das heißt, $theta(B):U [mm] \rightarrow [/mm] U$
> b) Auf V haben wir das Skalarprodukt <.,.>:VxV->R, (A,B)
> [mm]->tr(A*B^t)[/mm]
> zeigen sie [mm]
> alle B, C in V.
>
Rechne zuerst mal aus was [mm] $ad_{\theta(A)}(C)$ [/mm] ist. Beginne dann mit der rechten Seite der zu zeigenden Gleichung. Einsetzen und die Eigenschaften der Spur ausnutzen.
> c) Sei k:VxV->R, [mm](A,B)->tr(ad_A*ad_B)[/mm] gegeben. und es
> ergibt sich bilinearform k_theta(A,B) := -k(A, theta(B))
>
> Beweisen sie:
>
> i) k(theta(A), theta(B)) = k(A,B) ist.
> ii) k(g*A*g^-1, g*B*g^-1) = k(A,B) fuer g in R_nxn
> invertierbar
> iii) k und k_theta symmetrisch
> iv) k eingeschraenkt auf UxU nicht ausgeartet und k_theta
> eingeschraenkt auf UxU ein Skalarprodukt
>
> d) zeigen sie: [mm]ad_H[/mm] ist diagonalisierbar und [mm]ad_x, ad_y[/mm]
> sind nilpotent.
> e) bestimmen sie matrix von k eingeschraenkt auf UxU bzw
> k_theta eingeschraenkt auf UxU bzgl. Basis {H, X, Y} von
> U
> Wie ihr seht ist das eine ziemlich riesige Aufgabe und ich
> habe auch viele Fragen. Ich habe die Teilfragen nicht
> einzeln gepostet, weil ich denke, dass sich die antworten
> immer aus den aufgabenteilen davor herleiten lassen. Ich
> hoffe das ist OK so. Also nun zur Aufgabe. Hier meine Ideen
> und Fragen:
>
> a)
> Dass theta Elemente aus U nach U abbildet ist denke ich
> klar, weil U Untervektorraum und somit abgeschlossen. Bei
> [mm]ad_A(B)[/mm] sehe ich zwar, dass es bilinear ist und dass es
> bestimmt hilft, aber leider kann ich hier keinen beweis
> finden.
>
> b) Diesen Aufgabenteil habe ich nun 5 mal nachgerechnet und
> ich komme immer auf das selbe Ergebnis, nur das bei mir das
> - im rechten Teil der Gleichung immer fehlt. Ist es
> symmetrisch, also das - egal oder rechne ich immer falsch?
>
> c)
> i) Hier ist mir schon gar nicht so klar, was genau k ist.
> Ich habe versucht die Verkettung zu berechnen und fuer
> dabei ein beliebiges C als Parameter fuer die [mm]ad_A, ad_B[/mm] zu
> betrachten, leider bekomme ich immer null raus. Ist das der
> Falsche Ansatz?
>
Mir ist auch nicht so ganz klar, was das sein soll, irgendwie fehlt das Argument für [mm] $ad_{A}$ [/mm] bzw [mm] $ad_{B}$. [/mm] Den Rest der Aufgaben kann man sich anschauen, wenn klar ist, was $k$ ist.
> ii) ist es richtig, dass wenn ich g*A*g^-1 transponiere,
> dass g und g^-1 die Plaetze tauschen? oder was muss ich
> hier machen? Wenn ich hier einfach g und g^-1 wie skalare
> bei einer bilinearform rausziehe, dann klappt es nicht,
> aleider sehe ich nicht warum das nicht gehen sollte....
>
> iv) was genau bedeutet, dass es ausgeartet ist? das konnte
> ich im Skript nicht finden...
>
> Zum Rest kann ich ja noch spaeter Fragen, wenn ich diesen
> Teil erstmal verstehe. Ich habe es mal der Vollstaendigkeit
> halber auch gepostet.
>
> Ich hoffe irgendjemand versteht dieses Wirrwarr.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Fr 08.07.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
