Skalarprodukt auf C^2 < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:02 Mi 20.04.2005 | | Autor: | Ernesto |
Eien erfrischenden guten tag wünsche ich,
nun zum ernst der Lage...
Ich verzweifele hier bei einer LA Aufgabe...
Es sei ( , ) das Standardskalarprodukt auf [mm] \IC [/mm] ^2. Man zeige, das es keine nichtverschwindende lineare Abbildung T : [mm] \IC [/mm] ^2 -> [mm] \IC [/mm] ^2 mit der Eigenschaft
(c;Tu) = 0 [mm] \forall [/mm] u [mm] \in \IC [/mm] ^2 gibt
Ich flehe um gnade und erbitte den Beweis
habe mich in die Definitionen des Skalarproduktes auf unitären Räumen eingelesen
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Hallo!
Mit $c$ in
> (c;Tu) = 0 [mm]\forall[/mm] u [mm]\in \IC[/mm] ^2 gibt
meinst du ein [mm] $c\in \IC^2$ [/mm] oder ist das ein Tippfehler?
Falls $c$ ein zweiter Vektor ist, gilt nämlich $T=0$ weil jeder Vektor auf $0$ abgebildet wird. Denn gäbe es ein $u$ mit [mm] $Tu\ne [/mm] 0$, so wähle $c=Tu$. Da $( ; )$ pos. definit ist gilt $(c;Tu)=(Tu;Tu)>0$, ein Widerspruch.
Falls es aber nur ein Tippfehler ist hier folgender Beweis:
Wähle [mm] $x,y\in \IC^2$, $\alpha,\beta \in \IC$. [/mm] Es gilt:
[mm] $0=-|\alpha|^2-|\beta|^2$ [/mm] (die einzelnen Glieder sind nach Voraussetzung gleich 0)
[mm] $=\alpha\bar\beta +\bar\alpha \beta$.
[/mm]
Setze jetzt [mm] $\alpha=\beta=1$, [/mm] dann folgt $<Tx,y>+<Ty,x>=0$.
Für [mm] $\alpha=i,\ \beta=1$ [/mm] folgt $i<Tx,y>-i<Ty,x>=0$.
Insgesamt ist $<Tx,y>=0$ für alle [mm] $x,y\in\IC^2$, [/mm] also $T=0$ nach demselben Argument wie oben.
Beantwortet das deine Frage?
Gruß, banachella
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:45 Mi 20.04.2005 | | Autor: | Ernesto |
es war ein Tippfehler ich meine natürlich T : [mm] C^2 [/mm] - > [mm] C^2 [/mm] (u;Tu) = 0 [mm] \forall [/mm] u [mm] \in C^2
[/mm]
wie sieht der Beweis dann aus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:39 Do 21.04.2005 | | Autor: | banachella |
Ja, ich hatte mir schon gedacht, dass es ein Tippfehler war. Deshalb habe ich dir den Beweis ja auch im unteren Teil meiner Antwort skizziert, allerding habe ich x und y statt u verwendet, bzw. $<;>$ für das Skalarprodukt, aber Namen sind bekanntlich Schall und Rauch...
Gruß, banachella
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