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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:08 So 15.05.2011 | | Autor: | SimSSS |
| Aufgabe | a)
Zeige, dass durch
[mm]\left\langle\left\langle A,B \right\rangle\right\rangle[/mm] := [mm] tr($A^{\perp}*B$), [/mm] A,B [mm] $\in \IR^{nxn}$ [/mm]
ein Skalarprodukt auf dem Raum der (nxn)-Matrizen [mm] $\IR^{nxn}$ [/mm] definiert wird.
b)
Sei [mm] $\left|\left|\left| A \right|\right|\right|$:=$\wurzel{\left\langle\left\langle A,A \right\rangle\right\rangle}$, [/mm] A [mm] $\in \IR^{nxn}$ [/mm] die durch [mm] $\wurzel{\left\langle\left\langle *,* \right\rangle\right\rangle}$ [/mm] induzierte Norm von A und [mm] $\left|\left| x \right|\right|$ [/mm] die Standardnorm für x [mm] $\in \IR^{n}$.
[/mm]
Zeige, dass gilt:
[mm] $\left|\left| A*x \right|\right| \le \left|\left|\left| A \right|\right|\right|*\left|\left| x \right|\right|$
[/mm]
c)
Sei D = [mm] $\{\begin{pmatrix}
a & 0 \\
0 & b
\end{pmatrix}\left|a,b \in \IR\}\subset\IR^{nxn}$
[/mm]
der Unterraum aller reellen 2x2 Diagonalmatrizen. Bestimme eine Orthonormalbasis des orthogonalen Komplements [mm] $D^{\perp}$ [/mm] von D bezüglich des Skalarproduktes [mm] $\wurzel{\left\langle\left\langle *,* \right\rangle\right\rangle}$. [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Also a) hab ich hingekriegt, jetzt sitz ich grad an b) und komm einfach nicht weiter. Ich sehe den Trick anscheinend nicht.
Ich bin jetzt soweit:
[mm] $\left|\left| A*x \right|\right| \le \left|\left|\left| A \right|\right|\right|*\left|\left| x \right|\right|$
[/mm]
[mm] $(a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n)^2+...+(a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+...+a_{nn}x_n)^2 \le (a_{11}^2+a_{12}^2+...+a_{nn}^2) [/mm] * [mm] (x_1^2+x_2^2+...+x_n^2)$
[/mm]
Und hier nun das Problem, ich weiß einfach nicht wie ich weiter machen soll.
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| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 17:25 So 15.05.2011 | | Autor: | SimSSS |
So zur c) hab ich jetzt:
Sei [mm] D^{\perp}=\begin{pmatrix}
c & d \\
e & f
\end{pmatrix} [/mm] mit c,d,e,f [mm] \in \IR
[/mm]
[mm] $\left\langle\left\langle D,D^{\perp} \right\rangle\right\rangle [/mm] = tr( [mm] D^{T}* D^{\perp}) [/mm] = tr [mm] \begin{pmatrix}
ac & ad \\
be & bf
\end{pmatrix} [/mm] = ac+bf = 0
[mm] \Rightarrow [/mm] c=f=o
[mm] D^{\perp}= \left\{ \begin{pmatrix}
0 & d \\
e & 0
\end{pmatrix} \left| d,e \in \IR\right\} \subset \IR^{2x2}.
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix} \in D^{\perp} $
und liefert damit eine Basis von $D^{\perp}.
\left\langle \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix} , \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix} \right\rangle = tr \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix} = 2
\Rightarrow \left\{ \bruch{1}{\wurzel{2}} \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix} \right\}$ ist somit eine Orthonormalbasis.
Ist das so richtig???
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:22 Di 17.05.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Di 17.05.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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