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Ich habe da mal eine Frage, ich komm absolut nicht damit zu recht
B ist eine Funktion wie folgt
B: [mm] \IR^{n} \times \IR^{n} \to \IR
[/mm]
B(x,y) = xy ist das Skalarprodukt der Vektoren x und y
nun soll man den Gradienten und die Ableitung bestimmen!!!
Ich komm wirklich damit nicht klar, was die Ableitung und der Gradient ist, weiß ich, so ungefähr, jedoch kann ich das hierauf nicht anwenden.
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Hallo!
Also, in diesem Fall ist die (totale) Ableitung das gleiche wie der Gradient - das ist der Zeilenvektor, der durch die partiellen Ableitungen gebildet wird.
Wenn Du allgemein eine Abbildung $f: [mm] \IR^m \to \IR$ [/mm] hast, dann ist der Gradient definiert durch
[mm] $\mbox{grad} [/mm] f (x) := [mm] \left( \frac{\partial f}{\partial x_1} (x) , \ldots , \frac{\partial f}{\partial x_m} (x) \right)$
[/mm]
Wenn also in Deinem Fall ein Paar von Vektoren $(x,y) [mm] \in \IR^n \times \IR^n$ [/mm] gegeben ist, berechnet sich der Gradient einfach als Vektor von partiellen Ableitungen.
Es gilt ja: $B(x,y) = [mm] \sum_{i=1}^n x_i \cdot y_i$
[/mm]
Daher ist [mm] $\frac{\partial B}{\partial x_i} [/mm] (x,y) = [mm] y_i$ [/mm] und [mm] $\frac{\partial B}{\partial y_j} [/mm] (x,y) = [mm] x_j$. [/mm] Ist Dir das klar? In der Summe sind alle anderen Terme konstant und fallen weg.
Und damit ist [mm] $\mbox{grad} [/mm] B(x,y) = [mm] \left( \frac{\partial B}{\partial x_1}(x,y) , \ldots , \frac{\partial B}{\partial x_n}(x,y), \frac{\partial B}{\partial y_1}(x,y), \ldots , \frac{\partial B}{\partial y_n}(x,y) \right) [/mm] = [mm] (y_1, \ldots y_n, x_1, \ldots, x_n) [/mm] = (y,x)$
Die beteiligten vektoren drehen sich also quasi um.
Alles klar?
Lars
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