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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:32 Fr 29.04.2005 | | Autor: | nitro1185 |
Hallo!!Ich hätte eine kleine Frage!!
Es geht um ein lineares system erster Ordnung!!!
Ich muss folgendes zeigen:
< U(t)*v,U(t)*w>=<v,w> ...Skalarprodukt!!
Also: U(t)*v := cos(t)*v-i*sin(t)*m*v ,wobei m eine lineare Abbildung ist:
m: V ---> V ; linear und es gilt: [mm] m*e_{1}=e_{2} [/mm] und [mm] m*e_{2}=e_{1}
[/mm]
e1 und e2 ist eine Orthonormalbasis!! V ist ein zweidimensionaler komplexer Vektorraum mit Skalarprodukt:
Mein Ansatz:
< [cos(t)-i*sin(t)*m]*v, [cos(t)-i*sin(t)*m]*w>=
< [cos(t)-i*sin(t)*m]*(v1*e1+v2*e2),[cos(t)-i*sin(t)*m]*(w1*e1+w2*e2)>
Ich habe nur die Vektoren v und w als linaearkombination geschrieben!!
= < [cos(t)-i*sin(t)]*(v1*e1+v2*e1+v2*e2-v1*e2),.....analog zu w>
so wenn ich nun [cos(t)-i*sin(t)] [mm] \in [/mm] C = Körper herausziehe,wobei ich in der zweiten Komponente die konjugiert komplexe Zahl herausziehe so ergibt der Ausdruck 1!!
jedoch in dm skalarprodukt sollten sich 2 Komponenten aufheben,so dass nur mehr steht:
< v1*e1+v2*e2, w1*e1+w2*e2> steht aber nicht hier 
wer kann mir einen Fehler sagen oder einen Tipp geben??
Wäre nett. danke MFG daniel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:01 Fr 29.04.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi daniel !
ich verstehe einen Schritt nicht:
< [cos(t)-i*sin(t)*m]*(v1*e1+v2*e2),[cos(t)-i*sin(t)*m]*(w1*e1+w2*e2)
zu:
= < [cos(t)-i*sin(t)]*(v1*e1+v2*e1+v2*e2-v1*e2),.....analog zu w>
hier scheinst du irgendwie das m mit zu verbraten, aber du hast vorher geschrieben : U(t)*v := cos(t)*v-i*sin(t)*m*v und NICHT :
U(t)*v := (cos(t)*v-i*sin(t))*m(v)
wenn die zweite Version doch richtig ist (also nur ein Tippo da war),
dann musst du aber m(v1*e1+v2*e2)=v1*e2+v2*e1
benutzen...
Also vielleicht habe ich nur Tomaten auf den Augen, aber kannst du zu der Zeile noch was sagen?
viele Grüße
DaMenge
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Hallo!!!erstmal danke für deine Antwort!!
Also auf dem angabezettel steht einfach:
cos(t) v-i*sin(t)mv := U(t)v also aber bei dem hinweis steht abe rauch:
[mm] me_{1}=e_{2} [/mm] und umgekehrt!!
Also ich sollte auf <v,w> kommen?mfg daniel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:48 Sa 30.04.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hallo Daniel,
ich verstehe leider trotzdem nicht, wieso du den oben genannten Schritt nun genau so machst...
Ich habe allerdings nach etwas überlegen einen alternativen Ansatz:
Ein Endomorphismus, dessen Matrixdarstellung A sein heißt orthogonal,
wenn < v , w > = < Av , Aw >
Dies müsstest du also für dein [mm] U_t [/mm] nachweisen!
Außerdem sagt mir ein schlauer Satz aus dem Artin : A ist genau dann orthogonal, wenn die Spalten von A (paarweise) orthogonale Einheitsvektoren sind.
Die Idee ist nun also : finde eine Matrixdarstellung von [mm] U_t [/mm] und überprüfe, ob die Spaltenvektoren Einheitsvektoren sind und ob sie zueinander orthogonal sind (durch Skalarproduktbildung)
ich will dir bei der Findung von $ [mm] A_{U_t} [/mm] $ noch helfen:
erstmal : m ist folgendermaßen definiert: $ [mm] m(v)=m(\vektor{v_1\\v_2})=\vektor{v_2\\v_1} [/mm] $
dann ist $ [mm] U_t(v)=\cos(t)*v-i*\sin(t)*m(v)=\vektor{\cos(t)*v_1\\\cos(t)*v_2} [/mm] - [mm] \vektor{i*\sin(t)*v_2\\i*\sin(t)*v_1} [/mm] $
wie sieht also die Matrix $ [mm] A_{U_t} [/mm] $ dazu aus, wenn gelten muss:
$ [mm] A_{U_t}*\vektor{v_1\\v_2}=\vektor{\cos(t)*v_1-i*\sin(t)*v_2\\\cos(t)*v_2-i*\sin(t)*v_1} [/mm] $
Wenn du die Matrix hast, kann man noch schnell die beiden obigen Bedingungen überprüfen und man wäre fertig.
Aber schau bitte genau in deinem Skript o.ä. nach, ob du das auch so machen darfst (sind alle Sätze schon bewiesen und alle Vorraussetzungen erfüllt)
viele Grüße
DaMenge
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