Skalarprodukt < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:51 Do 07.08.2008 | | Autor: | Irmchen |
Hallo alle zusammen!
Ich habe hier eine Umformung in dem fogendem Beweis, die ich in einem Schritt nicht nachvollziehen kann... Wahrscheinlich ist das total einfach, aber ich stehe auf dem Schlauch :-(..
Lemma :
Sind [mm] z,w \in \mathbb C = \mathbb R^2 [/mm], so ist [mm] \langle z,w \rangle = Re (w \cdot \overline{z} ) [/mm]
Beweis :
[mm] \langle z,w \rangle = Re /z) \cdot Re (w) + Im (z) \cdot Im (w) [/mm]
[mm] = Re ( \overline{z} ) \cdot Re (w) - Im ( \overline{z} ) \cdot Im (w) [/mm]
[mm] = Re ( \overline{z} \cdot w ) [/mm]
Ich verstehe nur die 1. Gleichheit aber die anderen beiden darauf folgenden leider nicht....
Warum gelten diese?
Vielen Dank!
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:07 Do 07.08.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
fassen wir doch eine komplexe Zahl $a+ib$ als Vektor des [mm] $\IR^2$ [/mm] auf. Dann geben wir uns zwei Vektoren vor, die dann für z und w stehen.
[mm] $\pmat{a\\b}$ [/mm] und [mm] $\pmat{c\\d}$ [/mm] b und d sind die Imaginärteile.
Wenn wir jetzt das Skalarprodukt bilden, dann haben wir ja:
$ac+bd$, also $Re(z)*Re(w)+Im(z)*Im(w)$
Wenn wir jetzt das konjugiert komplexe der Zahl z nehmen, dann bleibt ja der Realteil gleich, der Imaginärteil geht aber zum Negativen über. Also, es gilt dann ja:
[mm] $Re(z)=Re(\overline{z})$ [/mm] und [mm] $Im(z)=-Im(\overline{z})$
[/mm]
Wenn wir das jetzt entsprechend ersetzen, kommen wir von der ersten auf die zweite Zeile:
[mm] $Re(z)*Re(w)+Im(z)*Im(w)=Re(\overline{z})*Re(w)-Im(\overline{z})*Im(w)$
[/mm]
Um von der zweiten auf die dritte Zeile zu kommen, sehe ich gerade leider keinen schönen Trick, deshalb würde ich einfach mal [mm] $\overline{z}*w$ [/mm] ausrechnen, und mir den Realteil ansehen:
[mm] $\overline{z}*w=(a-ib)(c+id)=ac+iad-ibc+bd$. [/mm] Das letzte gilt, weil [mm] $-i^2=-1*(-1)=1$
[/mm]
Wenn wir das jetzt sortieren erhalten wir:
$ac+bd+i(ad-bc)$, wo der Realteil dann genau
$ac+bd$ ist.
Wenn wir das jetzt mit dem obigen vergleichen, dann erhalten wir:
[mm] $Re(\overline{z})=a$, [/mm] $Re(w)=c$, [mm] $Im(\overline{z})=-b$ [/mm] und $Im(w)=d$
Wenn wir das alles oben einsetze, erhalten wir
$ac-(-bd)=ac+bd$, was also offensichtlich gleich dem Realteil von dem oben genannten ist.
Folglich gilt die Gleichungskette.
LG
kroni
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