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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:16 Fr 23.03.2007 | | Autor: | Wehm |
| Aufgabe | | Zu Zeigen <x-y,x-y> = [mm] ||x||^2+||y||^2-2||x|| [/mm] ||y|| cos [mm] \nu [/mm] |
Hoi.
Ich habe <x-y,x-y> jetzt bis zu [mm] ||x||^2+||y||^2-2 [/mm] umgeformt. Wie komme ich dann auf den Rest?
[mm] ||x||^2+||y||^2-2 [/mm] = [mm] ||x||^2+||y||^2-2||x||*||y|| [/mm]
[mm] =||x||^2+||y||^2-2||x||*||y|| *cos\nu [/mm]
wobei cos [mm] \nu [/mm] ja gleich 0 für [mm] \nu=90°, [/mm] oder cos [mm] \nu [/mm] =1 für [mm] \nu [/mm] = 0°
wie komme ich nun von dem einen Schritt [mm] ||x||^2+||y||^2-2 [/mm] auf den Rest? <x,y> ist doch hoffentlich nicht als ||x|| ||y|| cos [mm] \nu [/mm] definiert?
Gruß, Wehm
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:22 Fr 23.03.2007 | | Autor: | Ankh |
> wie komme ich nun von dem einen Schritt
> [mm]||x||^2+||y||^2-2[/mm] auf den Rest? <x,y> ist doch
> hoffentlich nicht als ||x|| ||y|| cos [mm]\nu[/mm] definiert?
Definiert nicht direkt, aber die beiden Ausdrücke sind äquivalent. ![[]](/images/popup.gif) Begründung
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:58 Fr 23.03.2007 | | Autor: | Wehm |
Also ist die Schreibweise
$ [mm] ||x||^2+||y||^2-2 [/mm] $ = $ [mm] ||x||^2+||y||^2-2||x||\cdot{}||y|| [/mm] $
$ [mm] =||x||^2+||y||^2-2||x||\cdot{}||y|| \cdot{}cos\nu [/mm] $
so in Ordnung?
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> Also ist die Schreibweise
>
> [mm]||x||^2+||y||^2-2[/mm] =
> [mm]||x||^2+||y||^2-2||x||\cdot{}||y||[/mm]
>
> [mm]=||x||^2+||y||^2-2||x||\cdot{}||y|| \cdot{}cos\nu[/mm]
>
> so in Ordnung?
Hallo,
nein, so darfst Du das nicht schreiben.
Du behauptest ja [mm] 2||x||\cdot{}||y||=2||x||\cdot{}||y|| \cdot{}cos\nu.
[/mm]
In den weitaus meisten Fällen wird das nicht stimmen.
Wie Du den Schritt von der 1. zur 3. Zeile begründest, wird stark davon abhängen, was Ihr so in der Vorlesung definiert habt, wie Skalarprodukt und Winkel eingeführt wurden.
Bei uns war es so: zunächst wurde <x,y> als Abbildung mit bestimmten Eigenschaften eingeführt, als nächstes kam die durchs Skalarprodukt induzierte Norm, und schließlich wurde der Winkel [mm] \nu [/mm] zwischen x und y erklärt durch [mm] cos\nu=\bruch{}{||x||\cdot{}||y|| }.
[/mm]
Von meinem Stand her müßte ich also sagen:
es ist [mm] cos\nu=\bruch{}{||x||\cdot{}||y|| }
[/mm]
==> [mm] =||x||\cdot{}||y|| cos\nu
[/mm]
Aber vielleicht war bei Euch bereits das Skalarprodukt def. als [mm] ||x||\cdot{}||y|| cos\nu [/mm] ? (So war das in meiner Schule.)
Gruß v. Angela
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