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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:44 Mi 01.12.2010 | | Autor: | nhard |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Skizzieren Sie für folgende Funktionen die Äquipotentiallinien und jeweils einen Schnitt entlang der Koordinatenachsen:
a)$\phi(x,y)=e^{-(x^2+y^2)}
b)$\phi(x,y)=x^2y
c)$\phi(x,y)=\bruch{1}{\wurzel{(x-1)^{2}+y^{2}}} \pm \bruch{1}{\wurzel{(x+1)^2+y^2}} |
Also ich komme überhaupt nicht zurecht mit der Aufgabe.
Was ich glaube zu wissen:
Für die Äquipotentiallinien gilt doch:
Gilt $\phi(x,y)}=const$,
Aber wie kann ich denn jetzt die einzelnen Äqu.linien herrausfinden?
Muss ich sagen:
$\phi(x,y)=c=e^{-(x^2+y^2)}$ und jetzt nach y auflösen:
$\(ln(c)=-x^2-y^2$
$\pm \wurzel{ln(c)+x^2}=y$
Aber was sehe ich jetzt dadurch?
Habe im Internet gefunden, dass man jetzt für y verschiedene Feste Werte einsetzen soll.
Aber dann hab ich doch auf der rechten Seite 2 unbekannte oder?
Und wie skizzieren?
Ich weiß leider auch nicht was ein "Schnitt entlang der Koordinatenachsen" bedeuten soll..
vielen Dank für eure Hilfe!
nhard
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:25 Mi 01.12.2010 | | Autor: | chrisno |
> Für die Äquipotentiallinien gilt doch:
>
> Gilt [mm]\phi(x,y)}=const[/mm],
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Aber wie kann ich denn jetzt die einzelnen Äqu.linien
> herrausfinden?
>
> Muss ich sagen:
>
> [mm]\phi(x,y)=c=e^{-(x^2+y^2)}[/mm] und jetzt nach y auflösen:
> [mm]\(ln(c)=-x^2-y^2[/mm]
> [mm]\pm \wurzel{ln(c)+x^2}=y[/mm]
>
> Aber was sehe ich jetzt dadurch?
> Habe im Internet gefunden, dass man jetzt für y
> verschiedene Feste Werte einsetzen soll.
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Wenn Du [mm] $\phi(x,y)$ [/mm] als Höhe über der x/y-Ebene nimmst, dann suchst Du Linien gleicher Höhe. Wenn Du nun von oben auf die x/y-Ebene schaust, dann kannst Du diese Linien aus Funktionen y(x) zusammensetzen. Da bist Du eugentlich schon am Ziel, denn solche Funktionen hast Du oben schon hingeschrieben.
Weiter mit dem Höhenlinienbeispiel: Auf der Karte sind die Höhenlinien nu rfür bestimmte Werte eingezeichnet: 100 m, 150 m u.s.w. Nun suchst Du Dir passende Werte für c heraus: c = 0, c = 1 ...
da musst Du etwas probieren und denken (das habe ich für diese Aufgabe gar nicht getan).
Ein Hinwes noch: Dieser Funktion sieht man die Symmetrie sofort an. Daher kommt man noch schneller zum Ziel. Das merkst Du spätetstens beim Zeichnen.
>
> Und wie skizzieren?
> Ich weiß leider auch nicht was ein "Schnitt entlang der
> Koordinatenachsen" bedeuten soll..
>
Die Formulierung finde ich auch nicht gelungen. Ich denke, es ist Folgendes gemeint:
Nimm die x/y-Ebene. In dieser gibt es nur Funktionswerte mit y=0. Daher hast Du eine Funktion $z = [mm] \phi(x,0)$ [/mm] also [mm] $z=\phi(x)$. [/mm] Diese Funktion sollst Du zeichnen. Wieder mit dem Beispiel der Hügellandschaft: Du nimmst ein Messer und schneidest von oben runter auf die x-Achse. Nun schiebst Du alles vor der x/z-Ebene weg und siehst auf die Schnittfläche. Diese Kurve, die Du dann siehst, sollst Du als Funktion aufstellen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:10 Do 02.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich versteh dein bild nicht.
[mm] e^{-(x^2+y^2)}=const [/mm] heist doch [mm] x^2+y^2=const [/mm] und das sind doch Kreise?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:33 Do 02.12.2010 | | Autor: | nhard |
ohje, du hast natürlich recht.
Ich habe bei der Umformung im ersten Post einen Fehler gemacht, es muss
[mm] $\(y=\pm \wurzel{-ln(z)-x^2}
[/mm]
ich hatte [mm] $\(+x^2$
[/mm]
Jetzt erhalte ich auch meine Kreise!
die b) ist ja fast das selbe.
Für den Schnitt für x=0 und y=0 bekomme ich dann aber keine Funktion.
Setze ich dafür dann x bzw y = 1?
Wie sieht es bei der c aus?
Wie gehe ich denn mit dem [mm] $\pm$ [/mm] um? Muss ich dafür 2 Gleichungen aufstellen?
lg,
nhard
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:14 Do 02.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
zu b) mit dasselbe meinst du aber nicht Kreise? schnitt mit achse ist wirklich nur die 0, sieht man ja auxh an den Bild vorher.
zu c) wieder Kreise für + nur 0 für -,
eigentlich sollten an den Äquipotentiallinen die Werte von [mm] \Phi [/mm] stehen bzw. sie sollten in ganzen Werten springen etwa [mm] \Phi=1.2.3 [/mm] oder [mm] \Phi=1/e,2/e
[/mm]
0der 1/10e,2/10e usw.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:47 Do 02.12.2010 | | Autor: | nhard |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
nein, meinte nur das die Methode die Selbe ist, also nach y umstellen usw. ;)
Das mit der Beschriftung der einzelnen Graphen ist natürlich sinnvoll.
Aber bei der c) hänge ich jetzt.
Mein Problem ist, dass ich wenn ich die Wurzeln auflösen will ja große Therme bekomme, weil wenn ich quadriere ja erstmal eine binomische Formel erhalte usw.
Das ganze kann man doch bestimmt leicht vereinfachen... ich sehe nur leider keinen Ansatz..
Ich merke auch gerade, dass ich immer noch eine falsche Umformung für a) habe
Also bis
$\(ln(c)=-x^2-y^2$
müsste ja noch alles Stimmen.
Aber jetzt bekomme ich doch:
$\(-ln(c)=x^2+y^2$
$\(-ln(c)-x^2=y^2$
$\pm \wurzel{-ln(c)-x^2$
Aber $\(ln(c)>0$ nur für $\(c<0$
Stimmt das?
Wie interpretiere ich das jetzt?
Nur für Werte kleiner 0 existieren Äquipotential-Linien?
gruß,
nhard
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:15 Do 02.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn du nicht falsch abgeschrieben hast steht hier 2 mal derselbe Bruch. mit - =0 mit + [mm] 2/\wurzel{Kreis}
[/mm]
also hast du [mm] c12*(x+1)^2+y^2=2
[/mm]
ich versteh deine Schwierigkeit nicht.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:21 Do 02.12.2010 | | Autor: | nhard |
ohje, natürlich falsch abgeschrieben... unter der ersten Wurzel steht [mm] $\((x-1)^2$
[/mm]
Habe es entsprechend geändert.
Sorry..
Konnte mir meine Frage zu a) glaube ich selbst beantworten.
Weil [mm] $\(-x^2-y^2$ [/mm] für kleine x,y gegen 0 geht, wird der Wert der Funktion entsprechend gegen 1 gehen [mm] (\e^0=1)
[/mm]
Für größere x,y wird der Wert unendlich klein.
stimmt so in etwa?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:58 Do 02.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
in dem Fall würde ich die 2 einzelnen Potentiale [mm] \Phi_1 [/mm] und [mm] \Phi_2 [/mm] auswerten, die auf kreisen konstant sind und dann die auswerten, und sie dann addieren und so Punkte auf der gesuchten Kurve finden. bei + ist [mm] \phi=\infty [/mm] für y=0 x=1 und x=-1
also Zeichne die Kreise ,schreib die Werte dran und verbinde Punkte wo die Summe (und für die andere aufgabe die Differenz) gleich ist.
natürlich kanst du auch durch 2 maliges quadrieren auflösen, mir ist das zu umstäändlich (kommt auf die Punkte an , die du dafür kriegst.
Aber u zeigen, dass du weisst, dass man einzelne Potentiale einfach addieren kann ist doch auch was.
Gruss leduart
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