Skalares Flächenintegral < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Bestimmen Sie das skalare Flächenintegral [mm] \integral \integral_{F}^{}{f*dO} [/mm] für die Fläche F = [mm] \{(x, y, z) \in \IR | x^2 + y^2 + z^2 = 1\} [/mm] und die Funktion f : [mm] \IR^3 [/mm] → [mm] \IR, [/mm] f(x, y, z) = [mm] z^3(x^2 [/mm] + [mm] y^2).
[/mm]
Hinweis: Zerlegen Sie das Integationsgebiet unter Verwendung der Tatsache, dass [mm] (−z)^3 [/mm] = [mm] −z^3. [/mm] |
Als Lösung dieser Aufgabe steht nichts weiter als folgender Satz: Der Wert des Integrals ist 0, da sich die Integrale über Nord- und Südhemisphäre kompensieren.
Meine Frage ist, wie man auf diese Lösung kommt ohne das Integral explizit zu berechnen?
Ich hätte sonst einfach das skalare Oberflächenintegral mit Hilfe der Parametrisierung und des skalaren Oberflächenelements berechnet.
Wie komme ich ohne Berechnung auf 0 als Wert des Integrals bzw. wie muss ich mir das vorstellen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo!
Schau dir f(x, y, z) genau an. Es gilt f(x, y, z) = -f(x, y, - z). Das heißt, zu jedem Punkt auf der nördlichen Hemishäre gibt es einen exakt darunter auf der südlichen, an dem das Feld den gleichen Betrag, aber das umgekehrte Vorzeichen hat. Beim integrieren heben sich die Felder jeweils auf und das Integral ist 0.
|
|
|
| |
|
Danke! Der Hinweis ( [mm] (-z)^3 [/mm] = [mm] {}-z^3 [/mm] ) war dann nur für die Leute, die das ausgerechnet hätten?
Bei welchen weiteren Körpern ist das dann der Fall? Alle die, die um die z-Achse rotieren und auf beiden Seiten gleich viel Volumen besitzen? So z.B. ein Zylinder mit z [mm] \in \[-1,1\] [/mm] ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:19 Sa 25.07.2015 | | Autor: | hippias |
Funktionen mit dieser Eigenschaft koennte man als ungerade bezueglich der $x,y$-Ebene bezeichnen - aber das ist nur mein persoehnlicher Vorschlag. Beachte, dass es sich hierbei um eine Eigenschaft der Funktion handelt. Das Integrationsgebiet ist spiegelsymmetrisch bezueglich der $x,y$-Ebene. Beide Eigenschaften gehen in die Schlussfolgerung mit ein.
|
|
|
| |
|
Hallo!
Naja, das stimmt so nicht. Das Argument, das ich genannt habe, gilt erstmal für alle Körper, die spiegelsymmetrisch zur xy-Ebene sind. Die Rotationssymmetrie zur z-Achse ist dafür nicht notwendig, für einen Würfel gilt das ganze auch.
Allerdings ist es auch nicht so, daß diese Spiegelsymmetrie eine Bedingung ist. Stell dir einen Zylinder vor, dessen Achse mit der z-Achse zusammen fällt, und der auf der xy-Ebene steht. Wenn ich alles richtig gerechnet habe, ist das Integral dann
[mm] I=\frac{\pi}{2}(R+H)R^3H^3
[/mm]
Wenn du forderst, daß z.B. [mm] I=\frac{\pi}{2} [/mm] gelten soll, zeigt dir folgende Grafik, welche Höhe bei welchen Radius der Zylinder haben muß:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Jedenfalls, du kannst nun zwei beliebige, verschiedene Zylinder wählen, für die das Integral diesen Wert annimmt. Wenn du einen der Zylinder an der xy-Ebene spiegelst, hat sein Integral immernoch den gleichen Betrag, aber eben ein anderes Vorzeichen. Das heißt, eine Figur, die oberhalb der xy-Eben durch den einen, unterhalb durch den anderen Zylinder gegeben ist, hat auch insgesamt als Integral den Wert 0.
Soll heißen: Du kannst beliebig geformte Körper finden, für die das Integral 0 ist. Das ist dann aber nicht so einfach ersichtlich, wie bei der Aufgabe mit der Kugel.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
|
|
