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| Aufgabe | | Beispiel: Zeigen Sie, dass durch die beiden skalaren Gleichungen x=z+5, y=4-2z eine Gerade beschrieben wird. Ermitteln Sie ihren Durchstoßungspunkt mit der y,z-Ebene,sowie einen Richtungsvektor. |
Hallo erstmal in diesem Forum!
Ich bin noch ziemlich unerfahren mit solchen Foren aber ich chatte ja auch viel und verspreche mir einiges davon.
Zu meinem Problem:
Auf der im Anhang dargestellten 2.Linearen Gleichungseinheit kommt: [mm] y=14-2\mu [/mm] vor, dessen ich jedoch nicht beipflichte denn.....
y=4-2*pi (weil ich ja z=pi gesetzt habe)
Daher meine Frage: Hat sich der Autor bloß vertippt oder handelt es sich um ein Verständnisproblem auf meiner Seite?
Bitte um HILFE!
Beispiel: Zeigen Sie, dass durch die beiden skalaren Gleichungen x=z+5, y=4-2z eine Gerade beschrieben wird. Ermitteln Sie ihren Durchstoßungspunkt mit der y,z-Ebene,sowie einen Richtungsvektor.
Lösung: Setzt man [mm] z=\lambda,so [/mm] erhält man
x= [mm] 5+\lambda [/mm] (*)
[mm] y=4-2\lambda
[/mm]
[mm] z=\lambda
[/mm]
[mm] \vektor{x \\ y\\z}=\vektor{5 \\ 4\\0}+ \lambda \vektor{1 \\ -2\\1}
[/mm]
Die so entstandene Vektorgleichung stellt eine Gerade dar die eindeutig definiert ist.
Der Parameter [mm] \lambda [/mm] misst in diesem speziellen Fall den Abstand von der x,y-Ebene.
Wählt man x= [mm] \mu [/mm] als Parameter, so erhält man:
x= [mm] \mu
[/mm]
y=??14??-2 [mm] \mu [/mm] //MEIN HAUPTPROBLEM: WARUM 14 und nicht [mm] 4?\\ [/mm] (**)
z=-5+ [mm] \mu
[/mm]
[mm] \vektor{x \\ y\\z}=\vektor{0 \\ 14\\z}+\vektor{1\\ -2\\1}
[/mm]
...wieder diese scheussliche 14!
/mu misst jetzt den Abstand von der y,z-Ebene.
(*) und (**) sind zwei völlig gleichwertige verschiedene Vektorgleichungen der selben Geraden.(Aber die 14 stört mich...soweit ich weiss liegt eine parallelität bzw. eine Beziehung der Punkte zur Geraden nur dann vor wenn z.b. P1(=y*)...y=4-2x zu P2(y**)......y=14-2 [mm] \mu [/mm] ein Vielfaches ist und das ist hier nicht der Fall denn:
y=4-2 [mm] \lambda [/mm] und y=14-2 [mm] \mu [/mm] sind doch keine Vielfachen.
Was ist da los?
a) Habe ich ein Verständnissproblem ?
b) Ist meine "Theoretische Kommentation" richtig?
Zum Durchstoßungspunkt:
Den gesuchten Durchstoßungspunkt kann man an der letzten Geragengleichung sofort ablesen: Syz (o/14/-5) bei mir wäre er:
(**)
x= [mm] \mu
[/mm]
y=4-2 [mm] \ambda
[/mm]
z=-5+ [mm] \mu
[/mm]
darraus folgere ich:
[mm] \vektor{x \\ y\\z}=\vektor{0 \\ 4\\-5} [/mm] und nicht [mm] \vektor{0\\14\\-5}
[/mm]
...richtig ??
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Beispiel: Zeigen Sie, dass durch die beiden skalaren
> Gleichungen x=z+5, y=4-2z eine Gerade beschrieben wird.
> Ermitteln Sie ihren Durchstoßungspunkt mit der
> y,z-Ebene,sowie einen Richtungsvektor.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
>
> Lösung: Setzt man [mm]z=\lambda,so[/mm] erhält man
Wir haben ein GS mit 2 Gleichungen und drei Variablen, können also eine Variable frei wählen. In diesem Lösungsvorschlag entscheidet man sich für freie Wahl von z,
daraus ergeben sich x und y:
>
> x= [mm]5+\lambda[/mm] (*)
> [mm]y=4-2\lambda[/mm]
> [mm]z=\lambda[/mm]
Also haben alle Lösungendes Systems die Gestalt
>
> [mm]\vektor{x \\ y\\z}
=\vektor{5+\lambda \\ 4-2\lambda\\\lambda}
> =\vektor{5 \\ 4\\0}+ \lambda \vektor{1 \\ -2\\1}[/mm]
>
> Die so entstandene Vektorgleichung stellt eine Gerade dar
> die eindeutig definiert ist.
Ja.
>
> Der Parameter [mm]\lambda[/mm] misst in diesem speziellen Fall den
> Abstand von der x,y-Ebene.
Ja, aber wirklich nur in diesem speziellen Fall.
>
Jetzt wird - mehr oder weniger aus Spaß - geschaut, ob sich dieselbe Gerade ergibt, wenn man eine andere variable als freie variable nimmt.
> Wählt man x= [mm]\mu[/mm] als Parameter, so erhält man:
>
> x= [mm]\mu[/mm]
Es ist (1. Gleichung)
z=x-5= [mm] \mu [/mm] - 5
und (2.Gleichung)
[mm] y=4-2z=4-2(\mu [/mm] - [mm] 5)=14-2\mu.
[/mm]
Da ist sie, die 14.
Vielleicht gefällt sie Dir nicht, aber sie ist auf völlig legalem Weg entstanden.
> y=??14??-2 [mm]\mu[/mm] //MEIN HAUPTPROBLEM: WARUM 14 und nicht
> [mm]4?\\[/mm] (**)
> z=-5+ [mm]\mu[/mm]
>
> [mm]\vektor{x \\ y\\z}=\vektor{0 \\ 14\\z}+\vektor{1\\ -2\\1}[/mm]
>
> ...wieder diese scheussliche 14!
Hier muß es dann heißen:
[mm] \vektor{x\\y\\z}=\vektor{0\\14\\-5}+\mu\vektor{1\\-2\\1}
[/mm]
>
> /mu misst jetzt den Abstand von der y,z-Ebene.
Ja. In diesem speiziellen Fall.
> (*) und (**) sind zwei völlig gleichwertige verschiedene
> Vektorgleichungen der selben Geraden.
Ja.
Woran sehen wir das:
Ihre Richungsvektoren sind parallel.
Hier in Beispiel sind sie sogar gleich, aber das wäre überhaupt nicht erforderlich.
Stützvektor der zweiten geraden liegt auch auf der ersten, denn es ist
[mm] \vektor{0\\14\\-5}= =\vektor{5 \\ 4\\0}+ [/mm] (-5)* [mm] \vektor{1 \\ -2\\1}[/mm],
[/mm]
oder anders ausgedruckt: der Differenzvektor der beiden Stützvektoren ist parallel zum Richtungsvektor
Ich hoffe, daß hiermit Dein Problem geklärt ist.
> Zum Durchstoßungspunkt:
>
> Den gesuchten Durchstoßungspunkt kann man an der letzten
> Geragengleichung sofort ablesen:
Ja, und weil die Geradengleichung so lautet wie in der Dir vorliegenden Lösung, ist der Durchstoßpunkt (0|14|-5)
Gruß v. Angela
Syz (o/14/-5) bei mir
> wäre er:
>
> (**)
> x= [mm]\mu[/mm]
> y=4-2 [mm]\ambda[/mm]
> z=-5+ [mm]\mu[/mm]
>
> darraus folgere ich:
>
> [mm]\vektor{x \\ y\\z}=\vektor{0 \\ 4\\-5}[/mm] und nicht
> [mm]\vektor{0\\14\\-5}[/mm]
>
> ...richtig ??
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:59 Do 21.01.2010 | | Autor: | wetangel19 |
Hey angela.h.b., herzlich willkommen auch an dich!
Also deine Antwort:
1) Schnell_präzise und Modellhaft dargestellt
Ps: ich war da schon auf der Spur aber irgendwie habe ich mich mit dem Richtungsvektor vom [mm] \lambda [/mm] herumgeplagt anstelle das [mm] \mu [/mm] in die Rechnung zu nehmen...Naja meine Lust nach Zahlen 
Auf jedenfall bist Du mir eine große Hilfe gewesen!
Vielen Dank!
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