Skalare DGL n-ter Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:02 Mi 12.01.2011 | | Autor: | Peon |
| Aufgabe | Bestimme die allg. Lsg der hom. DGL bzw. die eindeutige Lsg. der AWA:
a) u''+13u'+40u=0
b) [mm] u''-\bruch{6}{5}u'+\bruch{9}{25}u=0, [/mm] u(1)=0, u'(1)=2
c) u'' [mm] +2\wurzel{2}u'+4u=0, u(\bruch{1}{\wurzel{2}})=0, u'(\bruch{1}{\wurzel{2}})=1 [/mm] |
Hallo,
ich habe versucht die a) mittels dem Reduktionsverfahren von d'Alembert zu lösen, aber ich scheitere schon daran eine spez. Lsg [mm] v(x)\not=0 [/mm] zu finden...
Es gibt wohl noch eine 2. Methode, wie man skalara Dgl n-ter Ordn. lösen kann und zwar mittels Variation der Konstanten, aber ich weiß leider nicht wie das geht, da wir das noch nicht in der VL gemacht haben (also für GDL n-ter Ordnung).
Kann mir einer einen Tipp geben.
DANKE
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Hallo Peon,
> Bestimme die allg. Lsg der hom. DGL bzw. die eindeutige
> Lsg. der AWA:
> a) u''+13u'+40u=0
> b) [mm]u''-\bruch{6}{5}u'+\bruch{9}{25}u=0,[/mm] u(1)=0, u'(1)=2
> c) u'' [mm]+2\wurzel{2}u'+4u=0, u(\bruch{1}{\wurzel{2}})=0, u'(\bruch{1}{\wurzel{2}})=1[/mm]
>
> Hallo,
>
> ich habe versucht die a) mittels dem Reduktionsverfahren
> von d'Alembert zu lösen, aber ich scheitere schon daran
> eine spez. Lsg [mm]v(x)\not=0[/mm] zu finden...
> Es gibt wohl noch eine 2. Methode, wie man skalara Dgl
> n-ter Ordn. lösen kann und zwar mittels Variation der
> Konstanten, aber ich weiß leider nicht wie das geht, da
> wir das noch nicht in der VL gemacht haben (also für GDL
> n-ter Ordnung).
> Kann mir einer einen Tipp geben.
Bei allen 3 Aufgaben hilft der Ansatz [mm]u=e^{\lambda*t}[/mm] weiter.
>
> DANKE
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:41 Mi 12.01.2011 | | Autor: | Peon |
Danke!
Habe für die a) [mm] e^{-5x} [/mm] benutzt und komme dann auf [mm] z=-\bruch{c_1}{3}e^{-3x}+c_2.
[/mm]
Wie bekomme ich nun das passenden Fundamentalsystem? Ich weiß ja, dass [mm] z=(z_1,z_2) [/mm] ist mit [mm] z_2=-\bruch{c_1}{3}e^{-3x}+c_2 [/mm] oder? Und was ist jetzt [mm] z_1? [/mm] Ist [mm] z_1=1? [/mm] Wenn ja warum :) Gilt das nach der Formel von d'Alembert oder schmeiß ich da jetzt alles durcheinander?
DANKE
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Hallo Peon,
> Danke!
> Habe für die a) [mm]e^{-5x}[/mm] benutzt und komme dann auf
> [mm]z=-\bruch{c_1}{3}e^{-3x}+c_2.[/mm]
Die erste Lösung ist [mm]z_{1}\left(x\right)=e^{-5x}[/mm]
Dann wird für die zweite Lösung der Ansatz
[mm]z_{2}\left(x\right)=k\left(x\right)*z_{1}\left(x)[/mm]
gemacht.
Nach Einsetzen und Lösen der DGL ergibt sich dann:
[mm]k\left(x\right)=-\bruch{c_1}{3}e^{-3x}+c_2[/mm]
> Wie bekomme ich nun das passenden Fundamentalsystem? Ich
> weiß ja, dass [mm]z=(z_1,z_2)[/mm] ist mit
> [mm]z_2=-\bruch{c_1}{3}e^{-3x}+c_2[/mm] oder? Und was ist jetzt [mm]z_1?[/mm]
> Ist [mm]z_1=1?[/mm] Wenn ja warum :) Gilt das nach der Formel von
> d'Alembert oder schmeiß ich da jetzt alles durcheinander?
>
> DANKE
Gruss
MathePower
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