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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:14 Do 09.06.2005 | | Autor: | Lambda |
Hi! Ich brauche dringend Hilfe bei der Funktion f(x)= sin(x)
Von dieser Funktion muss ich die Nulstellen, Extrempunkte, Wendepunkte und Symmetrie bestimmen. Ich weiß das f`(x)= cos(x) ist.
Wie berechne ich aber nun die oben angegeben Punkte? Ich habe in meiner Formelsammelung nichts darüber gefunden und weiß auch nicht, wie ich es machen soll.
Kann mir bitte jemand dabei helfen?
Danke!
Gruß, Lambda
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Hi, Lambda,
die Nullstellen der Sinusfunktion sind alle ganzzahligen Vielfachen von [mm] \pi, [/mm] also: [mm] x_{N} [/mm] = [mm] k*\pi, [/mm] k [mm] \in \IZ.
[/mm]
Extremstellen: f'(x) = 0 <=> cos(x) = 0. Die Nullstellen der Cosinusfunktion sind alle ungeradzahligen Vielfachen von [mm] \bruch{\pi}{2}, [/mm] also
[mm] x_{E} [/mm] =
Zur Entscheidung, ob Hoch- oder Tiefpunkte vorliegen, kannst Du z.B. die 2. Ableitung verwenden: f''(x) = -sin(x)
Setzt Du nun für k einen geradzahligen Wert ein (k=2n), so erhältst Du:
[mm] f''((2k+1)*\bruch{\pi}{2}) [/mm]
= [mm] f''((4n+1)*\bruch{\pi}{2})
[/mm]
= [mm] -sin(2n\pi [/mm] + [mm] \bruch{pi}{2}) [/mm]
= [mm] -sin(\bruch{pi}{2}) [/mm] (wegen der Periode der Sinusfkt.)
= -1 < 0; also: Hochpunkte.
[mm] H((4n+1)*\bruch{\pi}{2} [/mm] / 1)
Analog erhältst Du für die anderen Tiefpunkte:
[mm] T((4n+3)*\bruch{\pi}{2} [/mm] / -1)
Für die Wendepunkte setzt Du f''(x) = 0, also: -sin(x) = 0. Leicht zu erkennen: Das sind wieder die anfangs berechneten Nullstellen, also:
[mm] x_{W} [/mm] = [mm] k*\pi.
[/mm]
Da die 3. Ableitung dort [mm] \not= [/mm] 0 ist, liegen auch wirklich Wendepunkte vor:
[mm] W(k*\pi [/mm] / 0)
Symmetrie:
Da sin(-x) = -sin(x) für alle x [mm] \in \IR, [/mm]
ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung.
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