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Sinus vereinfachen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:45 Mi 01.04.2009
Autor: itse

Aufgabe
Sinus vereinfachen:
Bringen Sie die rechte Seite jeweils in die Form $A sin(k [mm] \cdot{} [/mm] t + B)$:

[mm] $f_1(t) [/mm] := sin(2t + [mm] \bruch{\pi}{4}) [/mm] + sin(2t - [mm] \bruch{\pi}{4})$ [/mm]

Hallo Zusammen,

die Funktion [mm] f_1(t) [/mm] als erstes mit Additionstheorem umformen:

[mm] $f_1(t) [/mm] := sin(2t + [mm] \bruch{\pi}{4}) [/mm] + sin(2t - [mm] \bruch{\pi}{4}) [/mm] =  sin(2t) [mm] \cdot{} cos(\bruch{\pi}{4}) [/mm] + cos(2t) [mm] \cdot{} sin(\bruch{\pi}{4}) [/mm] + sin(2t) [mm] \cdot{} cos(-\bruch{\pi}{4}) [/mm] + cos(2t) [mm] \cdot{} sin(-\bruch{\pi}{4})$ [/mm]

Durch die weiteren Zusammenhänge:

[mm] $cos(\bruch{\pi}{4}) [/mm] = [mm] sin(\bruch{\pi}{4})$ [/mm]
[mm] $cos(-\bruch{\pi}{4}) [/mm] = [mm] sin(\bruch{\pi}{4})$ [/mm]
$cos(2t) = sin(2t + [mm] \bruch{\pi}{2})$ [/mm]

ergibt sich folgendes:

$= sin(2t) [mm] \cdot{} sin(\bruch{\pi}{4}) [/mm] + sin(2t + [mm] \bruch{\pi}{2}) \cdot{} sin(\bruch{\pi}{4}) [/mm] + sin(2t) [mm] \cdot{} sin(\bruch{\pi}{4}) [/mm] + sin(2t + [mm] \bruch{\pi}{2}) \cdot{} sin(-\bruch{\pi}{4}) [/mm] =$

$= 2[sin(2t) [mm] \cdot{} sin(\bruch{\pi}{4})] [/mm] + sin(2t + [mm] \bruch{\pi}{2}) \cdot{} sin(\bruch{\pi}{4}) [/mm] - sin(2t + [mm] \bruch{\pi}{2}) \cdot{} sin(\bruch{\pi}{4}) [/mm] =$

$= 2[sin(2t) [mm] \cdot{} sin(\bruch{\pi}{4})] [/mm] =$

$= 2 sin(2t + [mm] \bruch{\pi}{4})$ [/mm]

Stimmt dies?

Vielen Dank im Voraus,
itse

        
Bezug
Sinus vereinfachen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:00 Mi 01.04.2009
Autor: fred97


> Sinus vereinfachen:
>  Bringen Sie die rechte Seite jeweils in die Form [mm]A sin(k \cdot{} t + B)[/mm]:
>  
> [mm]f_1(t) := sin(2t + \bruch{\pi}{4}) + sin(2t - \bruch{\pi}{4})[/mm]
>  
> Hallo Zusammen,
>  
> die Funktion [mm]f_1(t)[/mm] als erstes mit Additionstheorem
> umformen:
>  
> [mm]f_1(t) := sin(2t + \bruch{\pi}{4}) + sin(2t - \bruch{\pi}{4}) = sin(2t) \cdot{} cos(\bruch{\pi}{4}) + cos(2t) \cdot{} sin(\bruch{\pi}{4}) + sin(2t) \cdot{} cos(-\bruch{\pi}{4}) + cos(2t) \cdot{} sin(-\bruch{\pi}{4})[/mm]
>  
> Durch die weiteren Zusammenhänge:
>  
> [mm]cos(\bruch{\pi}{4}) = sin(\bruch{\pi}{4})[/mm]
>  
> [mm]cos(-\bruch{\pi}{4}) = sin(\bruch{\pi}{4})[/mm]
>  [mm]cos(2t) = sin(2t + \bruch{\pi}{2})[/mm]
>  
> ergibt sich folgendes:
>  
> [mm]= sin(2t) \cdot{} sin(\bruch{\pi}{4}) + sin(2t + \bruch{\pi}{2}) \cdot{} sin(\bruch{\pi}{4}) + sin(2t) \cdot{} sin(\bruch{\pi}{4}) + sin(2t + \bruch{\pi}{2}) \cdot{} sin(-\bruch{\pi}{4}) =[/mm]
>  
> [mm]= 2[sin(2t) \cdot{} sin(\bruch{\pi}{4})] + sin(2t + \bruch{\pi}{2}) \cdot{} sin(\bruch{\pi}{4}) - sin(2t + \bruch{\pi}{2}) \cdot{} sin(\bruch{\pi}{4}) =[/mm]
>  
> [mm]= 2[sin(2t) \cdot{} sin(\bruch{\pi}{4})] =[/mm]
>  

Bis hierhin stimmts

Das folgt allerdings schon hieraus



$ sin(2t + [mm] \bruch{\pi}{4}) [/mm] + sin(2t - [mm] \bruch{\pi}{4}) [/mm] = sin(2t) [mm] \cdot{} cos(\bruch{\pi}{4}) [/mm] + cos(2t) [mm] \cdot{} sin(\bruch{\pi}{4}) [/mm] + sin(2t) [mm] \cdot{} cos(-\bruch{\pi}{4}) [/mm] + cos(2t) [mm] \cdot{} sin(-\bruch{\pi}{4}) [/mm] $

denn

[mm] $sin(-\bruch{\pi}{4}) [/mm] = [mm] -sin(\bruch{\pi}{4})$ [/mm]



> [mm]= 2 sin(2t + \bruch{\pi}{4})[/mm]
>

Das verstehe ich nicht

Übrigends: [mm] $sin(\pi/4) [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}$ [/mm]

FRED



> Stimmt dies?
>  
> Vielen Dank im Voraus,
>  itse


Bezug
                
Bezug
Sinus vereinfachen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:16 Mi 01.04.2009
Autor: itse

Danke für die Antwort.

Somit wäre:

$ = 2[sin(2t) [mm] \cdot{} sin(\bruch{\pi}{4})] [/mm] = 2[sin(2t) [mm] \cdot{} \bruch{1}{\wurzel{2}}] [/mm] = [mm] \bruch{2 sin(2t)}{\wurzel{2}}$ [/mm]

Es soll aber in der folgender Form:

$ A [mm] \cdot{} [/mm] sin(k [mm] \cdot{} [/mm] t + B) $ erscheinen.

Wie kann man dies erreichen?

Gruß
itse


Bezug
                        
Bezug
Sinus vereinfachen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:22 Mi 01.04.2009
Autor: fred97

Das hast Du doch:



[mm] $\bruch{2 sin(2t)}{\wurzel{2}} [/mm] = [mm] \wurzel{2}sin(2t) [/mm] $

mit $A = [mm] \wurzel{2}, [/mm] k= 2, B = 0$

FRED

Bezug
                
Bezug
Sinus vereinfachen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:37 Mi 01.04.2009
Autor: itse

Hallo,

habe ich beim Auflösen des zweiten Terms nicht einen Fehler gemacht?

denn sin(2t - [mm] \bruch{\pi}{4}) [/mm] = sin(2t) [mm] \cdot{} cos(-\bruch{\pi}{4}) [/mm] - cos(2t) [mm] \cdot{} [/mm] sin(- [mm] \bruch{\pi}{4}) [/mm] = sin(2t) [mm] \cdot{} cos(-\bruch{\pi}{4}) [/mm] + cos(2t) [mm] \cdot{} sin(\bruch{\pi}{4}) [/mm]

oder?

Wenn dem so wäre, würde sich der Term nicht wegkürzen.

Gruß
itse

Bezug
                        
Bezug
Sinus vereinfachen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:55 Mi 01.04.2009
Autor: leduart

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Hallo
Nein jetzt hast du nen Fehler.
entweder das Additionsth. mit sin(a-b) wie dus jetzt geschrieben hast, aber dann steht da nicht sin(-\pi/4)
oder das mit sin(a+b) mit b=-\pi/4
Vorher wars richtig. nur deine Umformung zu lang.
Aus
$ f_1(t) := sin(2t + \bruch{\pi}{4}) + sin(2t - \bruch{\pi}{4}) = sin(2t) \cdot{} cos(\bruch{\pi}{4}) + cos(2t) \cdot{} sin(\bruch{\pi}{4}) + sin(2t) \cdot{} cos(-\bruch{\pi}{4}) + cos(2t) \cdot{} sin(-\bruch{\pi}{4}) $
und cos(\p/4)=cos(-\pi/4}=sin(\pi/4)=-sin(-\pi/4)
folgt sofort 2*cos(\pi/4)*sin(2t)=\wurzel{2}*sin(2t)
Gruss leduart

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