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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 08:08 Do 27.04.2006 | | Autor: | Doreen |
| Aufgabe | Zeige für [mm] \alpha \in \IR:
[/mm]
sin2 [mm] \alpha [/mm] = 2sin [mm] \alpha [/mm] * cos [mm] \alpha [/mm] |
Guten Morgen.
Da bin ich wieder und brauch gleich Hilfe.
Ich bin ja der Meinung, dass man die obige Aufgabe durch
Induktion beweisen kann. Aber da stockt es dann...
Induktionsanfang: [mm] \alpha [/mm] = 1
LS: sin 2*1 = 1
RS: 2 sin 1 * cos 1 = 1 somit ist es erfüllt
Induktionsschritt: [mm] \alpha [/mm] => [mm] \alpha [/mm] + 1
sin 2 [mm] \alpha [/mm] + sin 2 [mm] (\alpha [/mm] +1) = Induktionsvoraussetzung =
2sin [mm] \alpha [/mm] * cos [mm] \alpha [/mm] + sin 2 [mm] (\alpha [/mm] +1) ...
Leider bin ich mir überhaupt nicht sicher, ob man das über Induktion so macht, so wie ich es angefangen hab. Und an der Stelle "..." weiß ich nicht weiter.
Ich hoffe, mir kann jemand da weiter helfen und mir sagen, ob es soweit richtig ist und wenn ja, wie ich weiter machen muss.
Vielen lieben Dank im Voraus
Doreen
Diese Frage habe ich in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:15 Do 27.04.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hallo Doreen,
leider kann man die Aufgabe nicht über Induktion lösen, denn diese macht nur Aussagen zu (einer Teilmenge der) natürlichen Zahlen, also man kann per Induktion höchstens solche Aufagen lösen wie :"Zeige für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] mit [mm] $n\ge n_0$ [/mm] dass ..."
dein Alpha ist aber aus [mm] $\IR$, [/mm] du kannst nicht einfach von Alpha auf (alpha+1) schließen, denn dazwischen sind ja noch (unendlich viele) andere Werte, die es zu betrachten gilt.
Du musst die Aufgabe vielmehr mit dem Wissen über die trigonometrischen Funktionen lösen, das du schon hast (evtl. durch vorherige Aufgaben?)
also [mm] $\sin(2*\alpha)=\sin(\alpha +\alpha)$ [/mm] und dann könnte man versuchen mit den Additionstheoremen die Aussage zu beweisen.
Was habt ihr also schon für Formeln kennen gelernt? Was darf verwendet werden?
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:34 Do 27.04.2006 | | Autor: | Doreen |
Also erstmal vielen Dank,
da war ich wohl ganz auf dem Holzweg.
Das ist die erste Aufgabe zu dem Thema und mein Wissen liegt mindestens 9 Jahre zurück...
Wenn ich dich richtig verstanden hab, dann schaut das ganz wie folgt aus:
sin2 [mm] \alpha [/mm] = sin [mm] (\alpha [/mm] + [mm] \alpha) [/mm]
mit Additionstheorem folgt
[mm] sin\alpha [/mm] * [mm] cos\alpha [/mm] + [mm] sin\alpha [/mm] * [mm] cos\alpha [/mm] = [mm] 2*sin\alpha [/mm] * [mm] cos\alpha [/mm]
und somit als bewiesen gilt.
Für Antwort vielen Dank im Voraus
Gruß Doreen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:41 Do 27.04.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hallo nochmal,
also wenn du die Additionstheoreme verwenden darfst, dann ist das richtig, aber das scheint mir doch ein wenig zu einfach (die Aufgabe hat dann keinen tieferen Sinn) - schau mal lieber nochmal in deiner Mitschrift nach oder so, was ihr überhaupt dazu hattet und ob ihr das auch evtl anders (aber komplizierter) beweisen könntet, wenn ihr die Additionstheoreme noch nicht hattet.
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:51 Do 27.04.2006 | | Autor: | Doreen |
Warum kann es nicht so einfach sein?
Also wir haben den Beweis der Sinusfunktion erbracht
im Zusammenhang mit [mm] \pi
[/mm]
sin [mm] \alpha [/mm] = sin( [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] + [mm] \bruch{\pi}{2}) [/mm] = sin [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] * cos [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] + cos [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] * sin [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] = 2 sin [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] * cos [mm] \bruch{\pi}{2}
[/mm]
so und mit dem kann ich das auf meine Aufgabe anwenden.
Einfach schlussfolgern.
Was anderes habe ich nicht dazu im Skript.
Müsste doch dann theoretisch passen und langen?
Gruß Doreen
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