Sinus approximieren < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien x,a [mm] \in \IR. [/mm] Zeigen Sie, dass für ein [mm] \xi [/mm] zwischen x und a gilt:
[mm] \sin(x) [/mm] = [mm] \sin(a) +\cos(a)(x-a)-\bruch{\sin(a)(x-a)^{2}}{2}-\bruch{\cos(\xi)(x-a)^{3}}{6}
[/mm]
Approximieren Sie mit dem Egebnis sin(51°), wobei [mm] 51°\hat=\bruch{51\pi}{180} [/mm] und schätzen Sie den Fehler ab. |
Wie beweise ich dass dieser Term oben so existiert?
Kann ich bei der Approximation irgend ein a und [mm] \xi [/mm] wählen? mein x sind 51° oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:00 Mo 09.04.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
das ist ziemlich einfach gezeigt. Ihr hattet wahrscheinlich in der Vorlesung gerade den Satz von Taylor gemacht, wenn du den auf sin anwendest und das Restglied mit der Lagrange-Formel abschätzt, hast du diese Gleichung da stehen.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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Also erstmal danke :)
Kann ich nun wenn ich das approximieren möchte mein a und [mm] \xi [/mm] frei wählen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:05 Mo 09.04.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
also ich glaube du verstehst das nicht ganz. Taylor-Polynome sind dazu da, um komplizierte Funktionen in der Nähe eines Punktes a zu approximieren. Das Restglied (der letzte Term) gibt eine Auskunft darüber, wie gut das Taylor-Polynom die "echte" Funktion approximiert. Das chsi kannst du nicht wählen, weil es ein Wert zwischen a und x ist. Das a kannst du aber frei wählen. Da du ja einen bestimmten Wert approximieren möchtest ist es sinnvoll für a einen Wert zu nehmen, dessen Sinus allgemein bekannt ist (0,pi halbe,oder so). Und an der Formel für dein Restglied siehst weiter auch, dass je näher a und x zusammenligen, desto kleiner ist der Betrag des Restgliedes, also desto besser die Approximation. Bei der Approximation lässt du das Restglied natürlich weg da du ja den Wert für chsi nicht kennst. Sinnvoll ist aber am Ende eine Abschätzung des Restgliedes durch die Formel für ihn.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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Dank dir, jetzt habe ich es besser verstanden :)
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