Sinus-, Kosinus-, Tangensfkt. < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo ihr Lieben.
Ich schreibe bald Mathe, war aber leider nicht oft in der Schule aufgrund gesundheitlicher Probleme. Hauptthema wird sein "Sinus-, Kosinus-, Tangensfunktionen".
Was ich mir gerade aus dem Buch erschlossen habe ist, dass sich Sinus auf der y- Achse und Kosinus auf der x- Achse befindet und in welchem Viertel Sinus und Kosinus positiv bzw negativ ist (vom Tangens konnte ich nichts erschließen).
Zudem haben wir so Sätze aufgeschrieben wie "sin [mm] \alpha [/mm] = sin (180 - [mm] \alpha)" [/mm] und "sin [mm] \alpha [/mm] = - sin (360 - [mm] \alpha)". [/mm] Damit kann ich ja Aufgaben berechnen wie "Bestimme alle Winkel [mm] \alpha [/mm] zwischen 0° und 360°, für die gilt: sin ( [mm] \alpha) [/mm] = sin (10°)".
Aber darunter steht zB eine Aufgabe die lautet: "Für welche Winkel [mm] \alpha [/mm] ist sin ( [mm] \alpha) [/mm] < 0,5 und cos ( [mm] \alpha) [/mm] negativ?". Stünde für "< 0,5" jetzt "positiv" da, wäre ja alles klar, da ich ja den geviertelten Kreis kenne, aber wie löse ich diese Aufgabe?
Ich habe aber das große Problem, dass ich den ganzen Sinn dahinter nicht verstehe, was es mit den Funktionen auf sich haben soll. Wir hatten wohl den Sinus-, Kosinus- und Tangenssatz, aber ich verstehe überhaupt nicht, was der Sinn an den Funktionen sein soll und was man damit berechnen kann.
Kann mir jemand bitte das Thema näher bringen? Ich wäre wirklich dankbar.
Mit freundlichen Grüßen,
englein89
|
|
| |
|
Hi, Englein,
ziemlich viele Fragen und Probleme auf einmal!
Ich werd' mal ein paar davon angehen!
> Was ich mir gerade aus dem Buch erschlossen habe ist, dass
> sich Sinus auf der y- Achse und Kosinus auf der x- Achse
> befindet
Was Du damit meinst, weiß ich nicht!
Vermutlich hat der Autor des Buches die Werte des Sinus bzw. Cosinus am Einheitskreis bestimmt und auf der senkrechten bzw. waagrechten Achse eingetragen; deswegen "befinden" sich die Funktionen aber nicht auf den Achsen.
Schau Dir lieber das jeweilige rechtwinklige Dreieck mit Hypothenuse =1 an.
Dann siehst Du: Der Sinus von [mm] \alpha [/mm] ist die Länge der diesem Winkel gegenüberliegenden Kathete (Gegenkathete), der Cosinus die Länge der anliegenden Kathete (Ankathete).
> und in welchem Viertel Sinus und Kosinus positiv
> bzw negativ ist (vom Tangens konnte ich nichts
> erschließen).
Dazu musst Du Dir nur klarmachen, dass Katheten, die nach oben oder nach rechts zeigen, als positiv, solche, die nach unten oder nach links zeigen, als negativ betrachtet werden.
Daher ist der Sinus im I. und II.Quadranten (Du sagst "Viertel" dazu - aber das sagt wohl sonst niemand!), im III. und IV. Quadranten negativ,
der Cosinus ist im I.Quadranten positiv, im II. und III. Quadranten negativ, im IV. wieder positiv.
Den Tangens und seine Vorzeichen machst Du Dir ähnlich klar, oder aber durch die Formel: tan = [mm] \bruch{sin}{cos}. [/mm]
> Zudem haben wir so Sätze aufgeschrieben wie "sin [mm]\alpha[/mm] =
> sin (180 - [mm]\alpha)"[/mm] und "sin [mm]\alpha[/mm] = - sin (360 -
> [mm]\alpha)".[/mm] Damit kann ich ja Aufgaben berechnen wie
> "Bestimme alle Winkel [mm]\alpha[/mm] zwischen 0° und 360°, für die
> gilt: sin ( [mm]\alpha)[/mm] = sin (10°)".
>
> Aber darunter steht zB eine Aufgabe die lautet: "Für welche
> Winkel [mm]\alpha[/mm] ist sin ( [mm]\alpha)[/mm] < 0,5 und cos ( [mm]\alpha)[/mm] negativ?".
Ich nehme an, dass [mm] \alpha [/mm] zwischen 0° und 360° liegen soll?
Dann siehst Du am Einheitskreis, dass [mm] sin(\alpha)=0,5 [/mm] für [mm] \alpha [/mm] = 45°, aber auch für [mm] \alpha=135° [/mm] gilt.
Zwischen diesen beiden Winkelwerten ist der Sinus größer als 0,5.
Also interessieren schon mal nur die Winkel [mm] 0°\le\alpha<45° [/mm] sowie 135° < [mm] \alpha \le [/mm] 360°.
Nun soll zusätzlich der Cosinus negativ sein. Das ist - wie oben erwähnt - im II. und III.Quadranten der Fall, also für 90° < [mm] \alpha [/mm] < 270°.
Wenn man nun beide Bedingungen verknüpft, erhält man die gesuchte Antwort: 135° < [mm] \alpha [/mm] < 270°
So!
Beim Rest kann sich mal jemand anders versuchen!
|
|
|
| |
|
Danke für die schnelle Antwort. Ich hab nun das ganze mit den Quadranten verstanden. das ist schon sehr hilfreich.
Ich verstehe nur noch immer nicht diese Aufgaben wie ich schon geschrieben habe.
Z.B.: Für welche Winkel ist sin [mm] \alpha [/mm] < 0,5 und cos [mm] \alpha [/mm] negativ?
Wir haben in der Schule nämlich als Ergebnis was ganz anderes notiert und ich verstehe den Vorgang dabei nicht. Muss ich irgendwas mit Shift machen? Wieso gilt 0,5 für 45° sowie 135 °? Shift sin 0,5 sind doch 30°.
Ich habe aber noch gerade so eine Aufgabe gerechnet: "tan [mm] \alpha [/mm] < 1 und cos [mm] \alpha [/mm] positiv".
Mir ist klar, dass die erste Lösung 0° < [mm] \alpha [/mm] < 45° ist, weil Shift tan = 45 ° sind und in dem Quadranten Kosinus auch positiv ist. Aber warum steht dann noch die zweite Lösung "270 < [mm] \alpha [/mm] < 360"? Das verstehe ich überhaupt nicht. In dem Quadranten ins Cosinus positiv, aber Tangens ist da doch negativ. Und Zahlen, die kleiner 1 sind wie zB 1,5 sind doch positiv, oder etwa nicht?
Danke für die Hilfe!
|
|
|
| |
|
>
> Ich verstehe nur noch immer nicht diese Aufgaben wie ich
> schon geschrieben habe.
> Z.B.: Für welche Winkel ist sin [mm]\alpha[/mm] < 0,5 und cos
> [mm]\alpha[/mm] negativ?
>
> Wir haben in der Schule nämlich als Ergebnis was ganz
> anderes notiert und ich verstehe den Vorgang dabei nicht.
> Muss ich irgendwas mit Shift machen? Wieso gilt 0,5 für 45°
> sowie 135 °?
es gilt nicht.
Hallo, englein99,
Du hast ganz richtig auf Deinem Taschenrechner herumgetippt, wenn Du bekommst, daß sin30°=0,5.
Hast Du Dir schonmal die Sinuskurve aufgezeichnet? Oder schau sie Dir im Buch an. Da siehst Du, daß es noch eine andere Stelle zwischen 0° und 360° gibt, an welcher der Sinus den Wert 0,5 hat: bei 180°-30°.
Jetzt würde ich ersteinmal notieren: sin [mm] \alpha<0,5 [/mm] für 0° [mm] \le \alpha<30° [/mm] und für 150°< [mm] \alpha \le360°.
[/mm]
Nun schau Dir den Verlauf des Cosinus an. Wo ist der Cosinus negativ? Aha: zwischen 90° und 270°.
Jetzt mußt Du nur noch die Stellen herausfinden, an denen beides gilt. Nämlich für 150°< [mm] \alpha<270°.
[/mm]
Ein Tipp: ich ist nützlich bzw. unverzichtbar, daß Du Dir die Kurven für sin, cos, tan aufzeichnen kannst. Anhand der "Bildchen" findet man vieles heraus. Z.B. wie oben: wo ist sin [mm] \alpha [/mm] noch =0,5? Dinge, die ein normaler Taschenrechner nicht verrät, die man aber berücksichtigen muß...
Viel Erfolg bei Deiner Mathearbeit.
Gruß v. Angela
(Falls Du jetzt nicht mehr alles über die trig. Funktionen lernen kannst, was Ihr in der Schule durchgenommen habt, vielleicht magst Du es Dir für die Ferien vornehmen... Man braucht sie in Mathe und Physik weiterhin, ist nichts zum Abhaken.)
|
|
|
| |
|
>
> Ich habe aber noch gerade so eine Aufgabe gerechnet: "tan
> [mm]\alpha[/mm] < 1 und cos [mm]\alpha[/mm] positiv".
> Mir ist klar, dass die erste Lösung 0° < [mm]\alpha[/mm] < 45°
> ist, weil Shift tan = 45 ° sind und in dem Quadranten
> Kosinus auch positiv ist. Aber warum steht dann noch die
> zweite Lösung "270 < [mm]\alpha[/mm] < 360"?
Siiiiiiiiiiiiiehst Du! Genau meine Rede...
Schau Dir doch mal das Bild vom Tangens an. Zwischen 0° und 360°. Der besteht in diesem Bereich ja aus drei "Teilzweigen".
Und der Zeig zwischen 270° und 360° verläuft im negativen Bereich.
Auch kannst Du sehen, daß es eine zweite Stelle gibt mit tan [mm] \alpha=1, [/mm] nämlich 180°+45°=225°. Das sind die Dinge, die der Rechner verschweigt.
Gruß v. Angela
Das verstehe ich
> überhaupt nicht. In dem Quadranten ins Cosinus positiv,
> aber Tangens ist da doch negativ. Und Zahlen, die kleiner 1
> sind wie zB 1,5 sind doch positiv, oder etwa nicht?
>
> Danke für die Hilfe!
>
|
|
|
| |
|
Hi, Englein,
hab' mich glatt vertan! (In die Ecke verkriech' und wein'!)
Muss natürlich 30° statt 45° heißen und 150° statt 135°,
sodass am Ende 150° < [mm] \alpha [/mm] < 270° rauskommt!
Alter Lehrwitz:
Ich wollt' ja nur, dass Du mitdenkst!
(Kicher!)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:42 So 19.06.2005 | | Autor: | Englein89 |
für die Ansätze!
Ich melde mich, wenn ich noch Fragen habe.
Nochmal danke!
englein89
|
|
|
|
