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| Aufgabe | | [mm] $\sin (\alpha [/mm] - [mm] \frac {\pi} [/mm] {2} )=$ ? |
Lösung: $- [mm] \cos \alpha$
[/mm]
Wie komme ich da genau drauf?
Ich hab vor mir die Sinus und Cosinus Funktion und sehe auch, dass die beiden um pi/2 versetz sind. aber wieso ergibt das - cos. Was bedeutet überhaupt davor die - bei meiner Zeichung!?
LG
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> [mm]\sin (\alpha - \frac {\pi} {2} )=[/mm] ?
> Lösung: [mm]- \cos \alpha[/mm]
> Wie komme ich da genau drauf?
> Ich hab vor mir die Sinus und Cosinus Funktion und sehe
> auch, dass die beiden um pi/2 versetz sind. aber wieso
> ergibt das - cos. Was bedeutet überhaupt davor die - bei
> meiner Zeichung!?
>
> LG
Hallo theresetom,
ich denke, dass du gewisse Beziehungen für Sinus und
Cosinus schon kennst. Es gibt verschiedene Lösungswege.
Eine Möglichkeit ist die, dass du von der Definition dieser
Funktionen am Einheitskreis ausgehst. Markiere dir auf
diesem einen (beliebigen) Punkt [mm] P_{\alpha} [/mm] mit dem Polarwinkel [mm] \alpha [/mm] .
Bezeichne seine Koordinaten mit c (für cos [mm] \alpha) [/mm] und s (für sin [mm] \alpha) [/mm] .
Betrachte nun weiter den Kreispunkt zum Polarwinkel
[mm] \alpha [/mm] - π/2 (den erhältst du durch eine einfache Drehung
aus dem Punkt [mm] P_{\alpha}) [/mm] und betrachte auch seine Koordi-
naten.
LG Al-Chw.
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also bei den ersten Punkt bin ich mal im ersten Quadranten, dann geh ich [mm] $\frac{\pi} [/mm] {2}$ nach rechts(uhrzeigersinn) da ja minus steht.
dann bin ich bei -sin und selbe [mm] +$\cos$
[/mm]
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> also bei den ersten Punkt bin ich mal im ersten Quadranten,
> dann geh ich [mm]\frac{\pi} {2}[/mm] nach rechts(uhrzeigersinn) da
> ja minus steht.
> dann bin ich bei -sin und selbe +[mm]\cos[/mm]
Mal etwas genauer:
Es sei zum Beispiel [mm] \alpha [/mm] = 60° . Der Punkt [mm] P_{\alpha} [/mm] steht dann
da, wo auf dem Zifferblatt die Zahl 1 für 1 Uhr steht.
Exakt wäre dort x=c=cos(60°)=0.5 und y=s=sin(60°) [mm] \approx0.866
[/mm]
Nun drehen wir den Zeiger um 90° im Uhrzeigersinn. Dann
steht er auf 4 Uhr (Polarwinkel 60°-90°= -30°).
Die neuen Koordinaten des Punktes sind dann
[mm] x_{neu} [/mm] = s [mm] \approx0.866 [/mm] und [mm] y_{neu} [/mm] = -c = -0.5
Diese y-Koordinate ist genau der gesuchte Sinuswert für den
neuen Winkel, also
$\ [mm] sin\left(\alpha-\frac{\pi}{2}\right)\ [/mm] =\ -c\ =\ [mm] -cos(\alpha)$
[/mm]
LG Al-Chw.
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Könnten Sie mir das vielleicht nochmals an der zeichung der Sinus und Cosniinuskurve zeigen?
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Hallo theresetom,
> Könnten Sie mir das vielleicht nochmals an der zeichung
> der Sinus und Cosniinuskurve zeigen?
Also ganz ehrlich: das kannst du mal schön selber machen.
Von soviel Eigenleistung gehen wir in diesem Forum aus.
Zeichne Dir Sinus und Cosinus auf und überprüfe die folgenden Aussagen:
[mm] \sin{(\pi-\alpha)}=\sin{(\alpha)}
[/mm]
[mm] \sin{(\pi+\alpha)}=-\sin{(\alpha)}
[/mm]
[mm] \sin{\left(\bruch{\pi}{2}-\alpha\right)}=\cos{(\alpha)}
[/mm]
[mm] \sin{(2\pi+\alpha)}=\sin{(\alpha)}
[/mm]
Versuch mal, die entsprechenden Regeln für "Verschiebungen" für den Cosinus aufzustellen. Sie sind natürlich anders, aber nicht schwieriger.
Grüße
reverend
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