Singularitäten/Hauptteil < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:05 Mo 05.01.2009 | | Autor: | Floyd |
Hallo!
Ich hab ein Problem mit dem folgenden Beispiel:
Bestimmen sie Singularitäten sowie jeweils den Hauptwert der folgenden Funktion:
[mm] f(z)=\bruch{5^z}{(5^z-5)(z-1)}
[/mm]
Die Singulärwerte sollten meiner Meinung nach bei [mm] 1+\bruch{2k\pi}{ln(5)}i [/mm] sein.
Aber wie berechnet man den Hauptteil?
Besten Dank im Voraus,
mfg Floyd
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Floyd,
> Hallo!
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> Ich hab ein Problem mit dem folgenden Beispiel:
> Bestimmen sie Singularitäten sowie jeweils den Hauptwert
> der folgenden Funktion:
> [mm]f(z)=\bruch{5^z}{(5^z-5)(z-1)}[/mm]
>
> Die Singulärwerte sollten meiner Meinung nach bei
> [mm]1+\bruch{2k\pi}{ln(5)}i[/mm] sein.
Ok. Die Singulärwerte kann ich bestätigen.
> Aber wie berechnet man den Hauptteil?
Was ist darunter zu verstehen?
>
> Besten Dank im Voraus,
> mfg Floyd
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:28 Di 06.01.2009 | | Autor: | Floyd |
Ich suche den Hauptteil der Laurent-Reihe für jeden Pol.
Also wenn f(z) = [mm] \summe_{i=-\infty}^{\infty}c_{n}(z-w_{0})^{n}
[/mm]
dann ist der Hauptteil [mm] \summe_{i=-M}^{-1}c_{n}(z-w_{0})^{n}, [/mm] wobei [mm] c_{M} [/mm] der kleinste Koeff. [mm] \not= [/mm] 0 ist und [mm] w_{0} [/mm] der Pol mit Ordnung M.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:48 Mi 07.01.2009 | | Autor: | Floyd |
Also ich hätte das jetz folgendermaßen gelöst (entwickelt an der Stelle 1):
[mm] 5^z=exp(z*log(5))= 5+5*log(5)*(z-1)+5/2*log(5)^2(z-1)^2+O((z-1)^3)
[/mm]
[mm] (5^z-5)(z-1)=5*log(5)(z-1)^2+5/2*log(5)^2(z-1)^3+O((z-1)^4)
[/mm]
[mm] g(z)=f(z)*(z-1)^2
[/mm]
Hauptteil(z,1) = [mm] 1/(z-1)^2*\summe_{n=0}^{2-1}(\bruch{d^n}{dz^n}g(z))_{z=1}(z-1)^n
[/mm]
[mm] =1/(z-1)^2*1/log(5)+1/(z-1)* \bruch{(5*log(5)+O(z-1))(5*log(5)+O(z-1))-((5+O(z-1))(5/2*log(5)^2+O(z-1)))}{(5*log(5))^2+O(z-1)}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{log(5)*(z-1)^2}+\bruch{1}{2*(z-1)^2}
[/mm]
Kann man das auch irgendwie einfacher rechnen??
Besten Dank im Voraus,
mfg Floyd
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:17 Mi 07.01.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Floyd!
> Also ich hätte das jetz folgendermaßen gelöst (entwickelt
> an der Stelle 1):
> [mm]5^z=exp(z*log(5))= 5+5*log(5)*(z-1)+5/2*log(5)^2(z-1)^2+O((z-1)^3)[/mm]
>
> [mm](5^z-5)(z-1)=5*log(5)(z-1)^2+5/2*log(5)^2(z-1)^3+O((z-1)^4)[/mm]
>
> [mm]g(z)=f(z)*(z-1)^2[/mm]
>
> Hauptteil(z,1) =
> [mm]1/(z-1)^2*\summe_{n=0}^{2-1}(\bruch{d^n}{dz^n}g(z))_{z=1}(z-1)^n[/mm]
> [mm]=1/(z-1)^2*1/log(5)+1/(z-1)* \bruch{(5*log(5)+O(z-1))(5*log(5)+O(z-1))-((5+O(z-1))(5/2*log(5)^2+O(z-1)))}{(5*log(5))^2+O(z-1)}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{log(5)*(z-1)^2}+\bruch{1}{2*(z-1)^2}[/mm]
>
> Kann man das auch irgendwie einfacher rechnen??
Ich würde den Bruch in f(z) kürzen:
[mm] f(z) = \bruch{1}{z-1} \bruch{5^{z-1}}{5^{z-1}-1} = \bruch{1}{z-1} \left (1 + \bruch{1}{5^{z-1}-1} \right)
[/mm]
und
[mm] \bruch{1}{5^{z-1}-1} = \bruch{1}{e^{(z-1)\ln 5}-1} = \left( \summe_{k=1}^\infty \bruch{(z-1)^k (\ln5)^k}{k!} \right)^{-1} = \bruch{1}{z-1} \left( \ln5 * \summe_{k=0}^\infty \bruch{(z-1)^k (\ln5)^k}{(k+1)!} \right)^{-1} [/mm]
[mm] = \bruch{1}{\ln 5}\bruch{1}{z-1} \left(1 - \bruch{\ln5}{2} (z-1) + O((z-1)^2)\right) [/mm]
Zusammen:
[mm] \bruch{1}{\ln 5*(z-1)^2}+\bruch{1}{2*(z-1)}[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:23 Mi 14.01.2009 | | Autor: | Floyd |
Wie kommt man hier von
[mm] \left(\summe_{k=0}^\infty \bruch{(z-1)^k (\ln5)^k}{(k+1)!} \right)^{-1}
[/mm]
auf
[mm] \left(1 - \bruch{\ln5}{2} (z-1) + O((z-1)^2)\right)
[/mm]
?
Besten Dank im Voraus!
Mfg Floyd
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:56 Do 15.01.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Wie kommt man hier von
> [mm]\left(\summe_{k=0}^\infty \bruch{(z-1)^k (\ln5)^k}{(k+1)!} \right)^{-1}[/mm]
>
> auf
> [mm]\left(1 - \bruch{\ln5}{2} (z-1) + O((z-1)^2)\right)[/mm]
> ?
Einfache Anwendung der geometrischen Reihe: der erste Summand ist ja 1, daher ist
[mm] \summe_{k=0}^\infty \bruch{(z-1)^k (\ln5)^k}{(k+1)!} = 1+q(z) [/mm],
wobei
[mm]q(z) = \bruch{\ln5}{2}(z-1) + O((z-1)^2) [/mm]
ist.
Und damit:
[mm] \left(\summe_{k=0}^\infty \bruch{(z-1)^k (\ln5)^k}{(k+1)!} \right)^{-1} = \bruch{1}{1+q(z)} = \summe_{k=0}^{\infty} (-q(z))^k = 1 - \bruch{\ln5}{2} (z-1) + O((z-1)^2) [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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