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| Aufgabe | Bestimme die Natur der Singularitäten (Ordnung und Position genügen) der folgenden Funktionen:
a) [mm] (z-2)^{-1}
[/mm]
b) [mm] \bruch{1+z^3}{z^2}
[/mm]
c) [mm] \bruch{e^z}{z^3}
[/mm]
d) [mm] \tan [/mm] z |
Hallo :)
auch hier habe ich Probleme die Aufgabenstellung richtig zu verstehen.
Ich habe versucht im Internet herauszufinden was genau:Singularität ist.
Ich fand heraus: Singuläre Funktionen sind Funktionen die bis auf eine endliche Menge von Punkten holomorph (und somit analytisch) sind.
Gut, dann suche ich also die Punkte wo diese Funktionen nicht holomorph sind?
Aber was ist die Ordnung, klar [mm] z^3 [/mm] ist 3. Ordnung, das ist mir bewusst, aber ich kann es nicht richig auf diese Aufgabe übertragen...
Habt ihr eine Idee?
ich hab alle Funktionen Null gesetzt um zu schauen wo Polstellen vorhaben sind.
a) habe ich keine Lösung gefunden
b) z=-1
c) habe ich auch keine Lösung gefunden, wenn ich nur den Nenner betrachte ist z=0 ein kritischer Punkt
d) [mm] z=n*\pi
[/mm]
Besten Dank für eure Hilfe und ganz liebe Grüße :)
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Hallo!
> Bestimme die Natur der Singularitäten (Ordnung und
> Position genügen) der folgenden Funktionen:
>
> a) [mm](z-2)^{-1}[/mm]
> b) [mm]\bruch{1+z^3}{z^2}[/mm]
> c) [mm]\bruch{e^z}{z^3}[/mm]
> d) [mm]\tan[/mm] z
Sieh' dir mal diese Seite an: ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia: Singularität, die dürfte für dich sehr aufschlussreich sein.
Bei allen Aufgaben hier geht es ja um Polstellen, also um eine spezielle Art von Singularitäten. Deswegen ist auch immer nach der Ordnung verlangt. Polstellen entstehen typischerweise bei Brüchen, und zwar wenn der Nenner 0 wird.
Bei a) ist zum Beispiel
[mm] $(z-2)^{-1} [/mm] = [mm] \frac{1}{z-2}$, [/mm] der Nenner wird also bei z = 2 Null, dort liegt also eine Polstelle vor. Um nun festzustellen, welche Ordnung die Polstelle hat, multiplizierst du die Funktion solange mit (z-2), bis die dabei entstehende Funktion [mm] \frac{1}{z-2}*(z-2)^{k} [/mm] keine Polstelle mehr bei z = 2 hat. Man sieht hier sehr leicht, dass k = 1 ist, also ist es ein Pol 1. Ordnung bei z = 2.
Grüße,
Stefan
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Hallo
danke für deine tolle hilfe :)
b) z=0 1. Ordnung
c) z=0, 1.Ordnung
d) [mm] z=\bruch{n}{2}\pi [/mm] für ungerade n, 1. Ordnung
stimmt das so?
liebe grüße und ein schönes wochenende wünsch ich :)
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Hallo!
> b) z=0 1. Ordnung
Du hast richtig erkannt, bei z = 0 ist die Polstelle. Aber es handelt sich um einen Pol [mm] \red{2}. [/mm] Ordnung, denn ich muss die Funktion mit [mm] z^{\red{2}} [/mm] multiplizieren, damit bei x = 0 kein Pol mehr vorliegt!
> c) z=0, 1.Ordnung
z = 0 ist richtig, aber die Ordnung stimmt noch nicht. Überlege nochmal, ähnlich wie oben.
> d) [mm]z=\bruch{n}{2}\pi[/mm] für ungerade n, 1. Ordnung
Das ist richtig! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Schreibe aber besser: Bei z = [mm] \frac{2m+1}{2}*\pi, m\in\IN [/mm] liegen Polstellen der Ordnung 1 vor.
Grüße,
Stefan
> stimmt das so?
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> liebe grüße und ein schönes wochenende wünsch ich :)
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