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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:07 Mi 06.01.2016 | | Autor: | Reynir |
| Aufgabe | | Bestimmen und klassifizieren Sie alle Singularitäten der Funktion [mm] $\frac{\cos(\pi z)}{(z-\frac{1}{2})^2}. [/mm] |
Ich habe das soweit nachvollzogen, aber ich hätte jetzt getippt, dass bei [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] ein Pol der Ordnung zwei liegt, aber das müsste laut der Lösung einer der Ordnung 1 sein, weil der cos hier auch eine Nullstelle hat.
Ich weis, dass es sich bei Polynomen kürzen lässt (blödes Beispiel $ [mm] \frac{(x-1)}{(x-1)^2}=\frac{1}{x-1}$), [/mm] aber hier sehe ich nicht, warum das gelten sollte.
Viele Grüße,
Reynir
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hiho,
[mm] $\cos(\pi [/mm] z)$ ist holomorph und damit als Potenzreihe darstellbar.
Überlege dir kurz, was die Eigenschaft, dass dort eine Nullstelle vorliegt für die Potenzreihe bedeutet und dann begründe, warum du kürzen kannst.
Gruß,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:35 Fr 08.01.2016 | | Autor: | Reynir |
Danke für deine Hilfe. ;)
Viele Grüße,
Reynir
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:17 Do 07.01.2016 | | Autor: | fred97 |
$cos( [mm] \pi [/mm] z)$ hat in z=1/2 eine einfache Nullstelle (warum ?).
Somit gibt es eine ganze Funktion f mit
$cos( [mm] \pi z)=(z-\bruch{1}{2})*f(z)$ [/mm] für alle z [mm] \in \IC [/mm] und f(1/2) [mm] \ne [/mm] 0.
Damit haben wir
$ [mm] \frac{\cos(\pi z)}{(z-\frac{1}{2})^2}= \frac{f(z)}{z-\frac{1}{2}}$
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:33 Fr 08.01.2016 | | Autor: | Reynir |
Hi,
ein Argument, das mir einfiele ist, dass mehrfache Nullstellen eines Polynoms auch Nullstellen von dessen Ableitung sind, entsprechend dann auch für Potenzreihen (das fände ich zumindest naheliegend). [mm] $\cos'=- \sin$ [/mm] und die Nullstellen des cos sind keine vom sin.
Was ist der Ansatz zu zeigen, dass es so eine ganze Funktion gibt? Einfach z-1 aus der Potenzreihendarstellung rausziehen?
Viele Grüße,
Reynir.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:37 Sa 09.01.2016 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
> ein Argument, das mir einfiele ist, dass mehrfache
> Nullstellen eines Polynoms auch Nullstellen von dessen
> Ableitung sind, entsprechend dann auch für Potenzreihen
> (das fände ich zumindest naheliegend). [mm]\cos'=- \sin[/mm] und
> die Nullstellen des cos sind keine vom sin.
Ja
> Was ist der Ansatz zu zeigen, dass es so eine ganze
> Funktion gibt? Einfach z-1 aus der Potenzreihendarstellung
> rausziehen?
Allgemein:
ist g: [mm] \IC\to \IC [/mm] holomorph, [mm] z_0 \in \IC [/mm] und und [mm] g(z_0)=0 [/mm] und [mm] g'(z_0) \ne [/mm] 0, so sieht die Potenzreihenentwicklung von g um [mm] z_0 [/mm] so aus:
[mm] g(z)=a_1(z-z_0)+a_2(z-z_0)^2 [/mm] + .... für z [mm] \in \IC.
[/mm]
Dabei ist [mm] a_1=g'(z_0) \ne [/mm] 0.
Setzt man [mm] f(z):=a_1+a_2(z-z_0)+ [/mm] .... für z [mm] \in \IC, [/mm] so ist f eine ganze Funktion,
[mm] g(z)=(z-z_0)f(z)
[/mm]
und [mm] f(z_0)=a_1 \ne [/mm] 0.
FRED
> Viele Grüße,
> Reynir.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:10 Sa 09.01.2016 | | Autor: | Reynir |
Super, danke für deine Hilfe.
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