Sind die Abbildungen linear? < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:40 Mo 19.05.2008 | | Autor: | Bockiii |
| Aufgabe | Es sind die folgenden Abbildungen gegeben:
©1((x; y)) = (2x ¡ 3y; 4y + x);
©2((x; y; z)) = (x2 ¡ z; y ¡ x; z ¡ y2):
Prüfen Sie jeweils, ob die Abbildungen linear sind. |
Hallo,
ich weiss das die beiden Abbildungen auf Homogenität (af(x)=fa(x)) und auf Additivität (f(x+y)=f(x)+f(y)) prüfen muss. Jedoch scheitere ich schon hierran. Ich hoffe jemand kann mir einen Ansatz zeigen!
Danke schonmal für die Hilfe!
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# Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:45 Mo 19.05.2008 | | Autor: | Bockiii |
| Aufgabe | Es sind die folgenden Abbildungen gegeben:
©1((x; y)) = (2x - 3y; 4y + x);
©2((x; y; z)) = (x2 - z; y - x; z - y2):
PrÄufen Sie jeweils, ob die Abbildungen linear sind. |
Sorry ich habe gerade gemerkt das beim Kopieren ein paar Rechenzeichen verschwunden sind. Noch einmal die korrekte Aufgabe!
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Hallo Bockiii,
> Es sind die folgenden Abbildungen gegeben:
> ©1((x; y)) = (2x ¡ 3y; 4y + x);
> ©2((x; y; z)) = (x2 ¡ z; y ¡ x; z ¡ y2):
> Prüfen Sie jeweils, ob die Abbildungen linear sind.
> Hallo,
> ich weiss das die beiden Abbildungen auf Homogenität
> (af(x)=fa(x)) und auf Additivität (f(x+y)=f(x)+f(y)) prüfen
> muss. Jedoch scheitere ich schon hierran.
Wieso?
Setze einfach nach deinem oben beschriebenen Ansatz an, es ist stumpfes Ausrechnen:
Nimm dir ein [mm] $a\in\IR$ [/mm] und beliebiges [mm] $(x,y)\in\IR^2$ [/mm] her und rechne nach, ob [mm] $f_1(a(x,y))=a\cdot{}f_1((x,y))$ [/mm] gilt
Es ist [mm] $f_1(a(x,y))=f_1((ax,ay))=(2(ax),3(ay),4(ay)+(ax))=(a(2x),a(3y),a(4y+x))=a(2x,3y,4y+x)=a\cdot{}f_1((x,y))$
[/mm]
Die anderen Bedingungen rechne genauso geradeheraus aus.
Du musst nur beachten, wie du Vektoren addierst und mit Skalaren multiplizierst...
>Ich hoffe jemand
> kann mir einen Ansatz zeigen!
> Danke schonmal für die Hilfe!
> #
> # Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:35 Mo 19.05.2008 | | Autor: | Bockiii |
Okay ich hab das jetzt einmal versucht.
©1((x; y)) = (2x - 3y; 4y + x)
Homogenität stimmt soweit (alpha eingesetzt und nachher ausgeklammert)
Additivität f(x+y)=f(x)+f(y) = 2x-3y+4y+x = 3x+y
Hier verstehe ich den unterschied nicht zw. f(x+y) und f(x)+f(y) würde das dort genauso aufschreiben.
©2((x; y; z)) = (x2 - z; y - x; z - y2)
Homogenität geht hier auch wunderbar da ich das alpha auch wieder zum schluss ausklammern kann
Additivität: f(x+y+z)=f(x)+f(y)+f(z) = x²-z+y-x+z-y² = x²-x-y²+y
Das bringt mich aba auch noch nicht weiter:(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:37 Mo 19.05.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die Abbildung ist doch von [mm] R^2 [/mm] nach [mm] R^2
[/mm]
du musst also f(x1,y1)+f(x2,y2)=f(x1+x2,y1+y2) nachrechnen
entsprechend ist die nächste Abbildung von [mm] R^3 [/mm] nach [mm] R^3
[/mm]
also hast du einen Vektor mit 3 Komponenten!
Gruss leduart
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