Sind Abbildungen linear < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:45 Mi 26.11.2008 | | Autor: | dennschu |
| Aufgabe | Welche der folgenden Abbildungen L : V ! W sind linear?
1. V = [mm] \IR^{3}, [/mm] W = [mm] R^{2}, L((x_{1}, x_{2}, x_{3})) [/mm] = [mm] (2x_{1} [/mm] + [mm] 3x_{2} [/mm] + [mm] 5x_{3}, x_{1} [/mm] − [mm] x_{2} [/mm] − [mm] 2x_{3}) [/mm] |
Aus der Vorlesung weiss ich, dass ich folgendes zeigen muss:
(1) L(x+y) = L(x) + L(y)
(2) [mm] L({\lambda}x) [/mm] = [mm] {\lambda}L(x)
[/mm]
Ich nehme mir zwei Vektoren [mm] x=\vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}} [/mm] und [mm] y=\vektor{y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3}}.
[/mm]
(1) L(x+y)= [mm] \vektor{(2x_{1} + 3x_{2} + 5x_{3}) + (2y_{1} + 3y_{2} + 5y_{3}) \\ (x_{1} - x_{2} - 2x_{3}) + (y_{1} - y_{2} - 2y_{3})}
[/mm]
L(x)= [mm] \vektor{2x_{1} + 3x_{2} + 5x_{3} \\ x_{1} - x_{2} - 2x_{3}}, [/mm] L(y)= [mm] \vektor{2y_{1} + 3y_{2} + 5y_{3} \\ y_{1} - y_{2} - 2y_{3}}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] L(x) + L(y) = [mm] \vektor{2x_{1} + 3x_{2} + 5x_{3} \\ x_{1} - x_{2} - 2x_{3}} [/mm] + [mm] \vektor{2y_{1} + 3y_{2} + 5y_{3} \\ y_{1} - y_{2} - 2y_{3}}
[/mm]
= [mm] \vektor{(2x_{1} + 3x_{2} + 5x_{3}) + (2y_{1} + 3y_{2} + 5y_{3}) \\ (x_{1} - x_{2} - 2x_{3}) + (y_{1} - y_{2} - 2y_{3})}
[/mm]
(2) [mm] L({\lambda}x) [/mm] = [mm] \vektor{{\lambda}(2x_{1} + 3x_{2} + 5x_{3}) \\ {\lambda}(x_{1} - x_{2} - 2x_{3})}
[/mm]
[mm] {\lambda}L(x) [/mm] = [mm] {\lambda}\vektor{2x_{1} + 3x_{2} + 5x_{3} \\ x_{1} - x_{2} - 2x_{3}} [/mm] = [mm] \vektor{{\lambda}(2x_{1} + 3x_{2} + 5x_{3}) \\ {\lambda}(x_{1} - x_{2} - 2x_{3})}
[/mm]
Bin ich damit fertig? Gezeigt hab ich doch eigentlich beides, mir kommt es aber irgendwie zu leicht vor.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:48 Mi 26.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> Welche der folgenden Abbildungen L : V ! W sind linear?
> 1. V = [mm]\IR^{3},[/mm] W = [mm]R^{2}, L((x_{1}, x_{2}, x_{3}))[/mm] =
> [mm](2x_{1}[/mm] + [mm]3x_{2}[/mm] + [mm]5x_{3}, x_{1}[/mm] − [mm]x_{2}[/mm] −
> [mm]2x_{3})[/mm]
> Aus der Vorlesung weiss ich, dass ich folgendes zeigen
> muss:
>
> (1) L(x+y) = L(x) + L(y)
> (2) [mm]L({\lambda}x)[/mm] = [mm]{\lambda}L(x)[/mm]
>
> Ich nehme mir zwei Vektoren [mm]x=\vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}[/mm]
> und [mm]y=\vektor{y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3}}.[/mm]
>
> (1) L(x+y)= [mm]\vektor{(2x_{1} + 3x_{2} + 5x_{3}) + (2y_{1} + 3y_{2} + 5y_{3}) \\ (x_{1} - x_{2} - 2x_{3}) + (y_{1} - y_{2} - 2y_{3})}[/mm]
>
> L(x)= [mm]\vektor{2x_{1} + 3x_{2} + 5x_{3} \\ x_{1} - x_{2} - 2x_{3}},[/mm]
> L(y)= [mm]\vektor{2y_{1} + 3y_{2} + 5y_{3} \\ y_{1} - y_{2} - 2y_{3}}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] L(x) + L(y) = [mm]\vektor{2x_{1} + 3x_{2} + 5x_{3} \\ x_{1} - x_{2} - 2x_{3}}[/mm]
> + [mm]\vektor{2y_{1} + 3y_{2} + 5y_{3} \\ y_{1} - y_{2} - 2y_{3}}[/mm]
>
> = [mm]\vektor{(2x_{1} + 3x_{2} + 5x_{3}) + (2y_{1} + 3y_{2} + 5y_{3}) \\ (x_{1} - x_{2} - 2x_{3}) + (y_{1} - y_{2} - 2y_{3})}[/mm]
>
> (2) [mm]L({\lambda}x)[/mm] = [mm]\vektor{{\lambda}(2x_{1} + 3x_{2} + 5x_{3}) \\ {\lambda}(x_{1} - x_{2} - 2x_{3})}[/mm]
>
> [mm]{\lambda}L(x)[/mm] = [mm]{\lambda}\vektor{2x_{1} + 3x_{2} + 5x_{3} \\ x_{1} - x_{2} - 2x_{3}}[/mm]
> = [mm]\vektor{{\lambda}(2x_{1} + 3x_{2} + 5x_{3}) \\ {\lambda}(x_{1} - x_{2} - 2x_{3})}[/mm]
>
> Bin ich damit fertig? Gezeigt hab ich doch eigentlich
> beides, mir kommt es aber irgendwie zu leicht vor.
Alles O.K.
FRED
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:16 Mi 26.11.2008 | | Autor: | dennschu |
| Aufgabe | | [mm] a\in \IR [/mm] V = W = [mm] \IR[x], [/mm] L(g) = [mm] g(a)\in \IR \subset \IR[x] [/mm] |
Wie soll ich mir das vorstellen?
[mm] \IR[x] [/mm] sind ja die Polynome, aber was soll mir die Abbildungsvorschrift sagen? Ich steh da irgendwie auf dem Schlauch.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:39 Do 27.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> [mm]a\in \IR[/mm] V = W = [mm]\IR[x],[/mm] L(g) = [mm]g(a)\in \IR \subset \IR[x][/mm]
>
> Wie soll ich mir das vorstellen?
>
> [mm]\IR[x][/mm] sind ja die Polynome, aber was soll mir die
> Abbildungsvorschrift sagen? Ich steh da irgendwie auf dem
> Schlauch.
Hier ist a [mm] \in \IR [/mm] fest vorgegeben. Jedem Polynom g wird der Funtionswert g(a) zugeordnet. Das ist alles. Diese Zuordnung nennt man auch ein "Auswertungsfunktional"
FRED
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