Sin(x)/x integrieren < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:04 Sa 22.11.2008 | | Autor: | DerGraf |
| Aufgabe | Zeigen Sie
[mm] \int_{0}^{\infty} \bruch{sin(x)}{x}\, dx=\bruch{\pi}{2} [/mm]
(Anleitung: Man intigriere die Funktion [mm] f(z)=\bruch{e^{iz}}{z} [/mm] über den Rand des Gebietes G={ [mm] z\in\IC: [/mm] r<|z|<R, [mm] 0 |
[mm] \sum_{k=1}^{n} \int_{\Gamma_k} \bruch{e^{iz}}{z}\, [/mm] dz=0 nach dem Cauchyschen Integralsatz, da ich mich bei diesem Ansatz im Kreis bewegen soll. Doch wie sehen meine [mm] \Gamma_k [/mm] genau aus?
Kann mir einer helfen?
Gruß DerGraf
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:22 Sa 22.11.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Zeigen Sie
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> [mm]\int_{0}^{\infty} \bruch{sin(x)}{x}\, dx=\bruch{\pi}{2}[/mm]
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> (Anleitung: Man intigriere die Funktion
> [mm]f(z)=\bruch{e^{iz}}{z}[/mm] über den Rand des Gebietes [mm]G=\{ z\in\IC: r<|z|
> Integralsatz sowie die Ungleichung
> [mm]sin\phi\ge\bruch{2\phi}{\pi}[/mm] für alle [mm]\phi\in[0,\bruch{\pi}{2}].)[/mm]
> [mm]\sum_{k=1}^{n} \int_{\Gamma_k} \bruch{e^{iz}}{z}\,dz=0 [/mm]
> nach dem Cauchyschen Integralsatz, da ich mich bei diesem
> Ansatz im Kreis bewegen soll. Doch wie sehen meine [mm]\Gamma_k[/mm]
> genau aus?
Ich verstehe hier nicht so recht, was du meinst. Wenn du das angegebene Gebiet betrachtest, siehst du doch genau, wie der Rand aussieht. Ein Kreis ist es nicht. Mal es dir auf!
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:58 Sa 22.11.2008 | | Autor: | DerGraf |
Ich gebe zu, mit dem Kreis habe ich mich etwas schlecht ausgedrückt. Ich meine, die Kurve ist geschlossen. Das Gebiet sieht hierbei aus wie die Hälfte eines Kreisringes.
Ich kann ja schon mal meine Vermutung über das Aussehen meiner [mm] \Gamma_k [/mm] angeben:
[mm] \Gamma_1=R(cos(\phi)+isin(\phi)) [/mm] mit [mm] \phi\in[0,\pi]
[/mm]
[mm] \Gamma_2=Re(z)=x [/mm] mit [mm] x\in[-R,-r]
[/mm]
[mm] \Gamma_3=-r(cos(\phi)+isin(\phi)) [/mm] mit [mm] \phi\in[0,\pi]
[/mm]
[mm] \Gamma_4=Re(z)=x [/mm] mit [mm] x\in[r,R]
[/mm]
Dabei müssten die Wegintegrale über [mm] \Gamma_2 [/mm] und [mm] \Gamma_4 [/mm] gleich groß sein oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:37 So 23.11.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ich gebe zu, mit dem Kreis habe ich mich etwas schlecht
> ausgedrückt. Ich meine, die Kurve ist geschlossen. Das
> Gebiet sieht hierbei aus wie die Hälfte eines Kreisringes.
Richtig.
> Ich kann ja schon mal meine Vermutung über das Aussehen
> meiner [mm]\Gamma_k[/mm] angeben:
Warum nur eine Vermutung? Du weisst doch, wie dein Gebiet aussieht!
> [mm]\Gamma_1=R(cos(\phi)+isin(\phi))[/mm] mit [mm]\phi\in[0,\pi][/mm]
> [mm]\Gamma_2=Re(z)=x[/mm] mit [mm]x\in[-R,-r][/mm]
> [mm]\Gamma_3=-r(cos(\phi)+isin(\phi))[/mm] mit [mm]\phi\in[0,\pi][/mm]
> [mm]\Gamma_4=Re(z)=x[/mm] mit [mm]x\in[r,R][/mm]
[mm]\Gamma_3[/mm] ist falsch. Außerdem geht aus dieser Notation nicht hervor, in welcher Richtung die Wege durchlaufen werden.
> Dabei müssten die Wegintegrale über [mm]\Gamma_2[/mm] und [mm]\Gamma_4[/mm]
> gleich groß sein oder?
Ja.
EDIT: Nein, sind sie nicht. Sorry, da hab ich mich vertan, denn es wird ja über die e-Funktion und nicht über den Sinus integriert.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:27 So 23.11.2008 | | Autor: | DerGraf |
Wenn ich mein [mm] \Gamma_3=-r(cos(\phi)+isin(\phi)) [/mm] in das Intervall [mm] \phi\in[\pi,2\pi] [/mm] lege, dürfte der Fehler korrigiert sein oder?
Geht die Richtung nicht aus den Intervallen meiner [mm] Gamma_k [/mm] hervor?
Gruß DerGraf
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:54 So 23.11.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Wenn ich mein [mm]\Gamma_3=-r(cos(\phi)+isin(\phi))[/mm] in das
> Intervall [mm]\phi\in[\pi,2\pi][/mm] lege, dürfte der Fehler
> korrigiert sein oder?
>
> Geht die Richtung nicht aus den Intervallen meiner [mm]Gamma_k[/mm]
> hervor?
Nur wenn du sagst, in welcher Richtung du das Intervall durchläufst. Wenn du immer implizit annimmst, dass du von kleineren zu größeren Werten gehst, ist dein neues [mm] $\Gamma_3$ [/mm] falschherum.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:05 So 23.11.2008 | | Autor: | DerGraf |
Ich habe mir mein Problem skizziert und ich denke eigentlich, dass mein [mm] \Gamma_3 [/mm] in die richtige Richtung zeigt. Wo liegt mein Denkfehler, also wie muss mein [mm] \Gamma_3 [/mm] richtig aussehen?
Gruß DerGraf
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:57 Mo 24.11.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ich habe mir mein Problem skizziert und ich denke
> eigentlich, dass mein [mm]\Gamma_3[/mm] in die richtige Richtung
> zeigt. Wo liegt mein Denkfehler, also wie muss mein
> [mm]\Gamma_3[/mm] richtig aussehen?
Wenn [mm] $\phi$ [/mm] von [mm] $\pi$ [/mm] nach [mm] $2\pi$ [/mm] läuft, durchläuft
[mm] -r(\cos\phi+i\sin\phi) [/mm]
einen Halbkreis oberhalb der reellen Achse von rechts nach links, also falschherum.
Du musst also entweder [mm] $\phi$ [/mm] von [mm] $2\pi$ [/mm] bis [mm] $\pi$ [/mm] laufen lassen, oder den Weg anders parametrisieren:
[mm] \Gamma_3 = r(-\cos\phi+i\sin\phi) [/mm], [mm] 0\le \phi\le\pi [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:46 Mo 24.11.2008 | | Autor: | DerGraf |
[mm] 0=\sum_{k=1}^{4} \int_{\Gamma_k} \bruch{e^{iz}}{z} \, dz=\int_{\Gamma_1} \bruch{e^{iz}}{z} \, dz+\int_{\Gamma_2} \bruch{e^{iz}}{z} \, dz+\int_{\Gamma_3} \bruch{e^{iz}}{z} \, dz+\int_{\Gamma_4} \bruch{e^{iz}}{z} \, dz=\int_{\Gamma_1} \bruch{e^{iz}}{z} \, dz+2*\int_{\Gamma_2} \bruch{e^{iz}}{z} \, dz+\int_{\Gamma_3} \bruch{e^{iz}}{z} \, dz=\int_{0}^{\pi} \bruch{e^{i(R(cos(\phi)+isin(\phi))}}{R(cos(\phi)+isin(\phi))} \, d\phi+2*\int_{r}^{R} \bruch{e^{ix}}{x} \, dx+\int_{0}^{\pi} \bruch{e^{i(r(-cos(\phi)+isin(\phi))}}{(r(-cos(\phi)+isin(\phi))} \, d\phi
[/mm]
Richtig so?
LG DerGraf
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:48 Mo 24.11.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> [mm]0=\sum_{k=1}^{4} \int_{\Gamma_k} \bruch{e^{iz}}{z} \, dz=\int_{\Gamma_1} \bruch{e^{iz}}{z} \, dz+\int_{\Gamma_2} \bruch{e^{iz}}{z} \, dz+\int_{\Gamma_3} \bruch{e^{iz}}{z} \, dz+\int_{\Gamma_4} \bruch{e^{iz}}{z} \, dz=\int_{\Gamma_1} \bruch{e^{iz}}{z} \, dz+2*\int_{\Gamma_2} \bruch{e^{iz}}{z} \, dz+\int_{\Gamma_3} \bruch{e^{iz}}{z} \, dz=\int_{0}^{\pi} \bruch{e^{i(R(cos(\phi)+isin(\phi))}}{R(cos(\phi)+isin(\phi))} \, d\phi+2*\int_{r}^{R} \bruch{e^{ix}}{x} \, dx+\int_{0}^{\pi} \bruch{e^{i(r(-cos(\phi)+isin(\phi))}}{(r(-cos(\phi)+isin(\phi))} \, d\phi[/mm]
>
> Richtig so?
Nein, so ist das Kurvenintegral nicht definiert. Für eine Parametrisierung der Kurve [mm] $\gamma$ [/mm] mit Parameter [mm] $\phi_0\le\phi\le\phi_1$ [/mm] gilt:
[mm] \integral_\gamma f(z) dz = \integral_{\phi_0}^{\phi_1} f(\gamma(\phi))\red{\gamma'(\phi)} d\phi [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:22 Mo 24.11.2008 | | Autor: | DerGraf |
Gut, ich hab mir nochmal die Integrale angschaut und die fehlenden Faktoren versucht zu ersetzen:
[mm] 0=\sum_{k=1}^{4} \int_{\Gamma_k} \bruch{e^{iz}}{z} \, dz=\int_{0}^{\pi} \bruch{e^{i(R(cos(\phi)+isin(\phi))}}{R(cos(\phi)+isin(\phi))}*ie^{i\?phi} \, d\phi+2\cdot{}\int_{r}^{R} \bruch{e^{ix}}{x} \, dx+\int_{0}^{\pi} \bruch{e^{i(r(-cos(\phi)+isin(\phi))}}{(r(-cos(\phi)+isin(\phi))}*r(-sin(\phi)+icos(\phi)) \, d\phi [/mm]
Und wie weiter? Die Integrale sehen nicht gerade hübsch aus :)
Gruß DerGraf$
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(Antwort) fertig | | Datum: | 04:17 Di 25.11.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Gut, ich hab mir nochmal die Integrale angschaut und die
> fehlenden Faktoren versucht zu ersetzen:
>
> [mm]0=\sum_{k=1}^{4} \int_{\Gamma_k} \bruch{e^{iz}}{z} \, dz=\int_{0}^{\pi} \bruch{e^{i(R(cos(\phi)+isin(\phi))}}{R(cos(\phi)+isin(\phi))}*ie^{i\?phi} \, d\phi+2\cdot{}\int_{r}^{R} \bruch{e^{ix}}{x} \, dx+\int_{0}^{\pi} \bruch{e^{i(r(-cos(\phi)+isin(\phi))}}{(r(-cos(\phi)+isin(\phi))}*r(-sin(\phi)+icos(\phi)) \, d\phi[/mm]
Kürzen.
Beim ersten Integral fehlt ein Faktor R, das Integral über [mm] $\Gamma_3$ [/mm] ist falsch.
Die Integrale über [mm] $\Gamma_2$ [/mm] und [mm] $\Gamma_4$ [/mm] sind doch nicht gleich. Sorry, dass ich das geschrieben habe, aber da habe ich auch nicht aufgepasst. Setze die Parametrisierungen ein.
Dann zerlegst du in Real- und Imaginärteil und schätzt das Integral über [mm] $\Gamma_3$ [/mm] mittels des Hinweises in der Aufgabe ab
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 08:18 Di 25.11.2008 | | Autor: | DerGraf |
[mm] 0=\sum_{k=1}^{4} \int_{\Gamma_k} \bruch{e^{iz}}{z} \, dz=\int_{0}^{\pi} \bruch{e^{i(R(cos(\phi)+isin(\phi))}}{R(cos(\phi)+isin(\phi))}\cdot{}iRe^{i\?phi} \, d\phi+\int_{r}^{R} \bruch{e^{ix}}{x} \, dx+\int_{0}^{\pi} \bruch{e^{i(r(-cos(\phi)+isin(\phi))}}{(r(-cos(\phi)+isin(\phi))}\cdot{}r(sin(\phi)+icos(\phi)) \, d\phi+\int_{-R}^{-r} \bruch{e^{ix}}{x} \, dx=\int_{0}^{\pi} ie^{i(R(cos(\phi)+isin(\phi))} \, d\phi+\int_{r}^{R} \bruch{e^{ix}}{x} \, dx+\int_{0}^{\pi} \bruch{e^{i(r(-cos(\phi)+isin(\phi))}}{(r(-cos(\phi)+isin(\phi))}\cdot{}r(sin(\phi)+icos(\phi)) \, d\phi+\int_{-R}^{-r} \bruch{e^{ix}}{x} \, [/mm] dx
Wie soll ich denn jetzt teilen? Ich habe doch keine Summen. Und wie soll ich den Hinweis einsetzen, wenn dieser nur für 0 bis [mm] \pi/2 [/mm] Gültigkeit hat? Meine Intervalle laufen doch bis [mm] \pi.
[/mm]
Gruß DerGraf
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:12 Di 25.11.2008 | | Autor: | DerGraf |
Hallo Rainer,
ich hab die Aufgabe jetzt selber mit meinen Kommilitonen gelöst. Vielen Dank für deine Hilfe!
Gruß DerGraf
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