Sin cos Integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:17 Do 03.01.2008 | | Autor: | Zorba |
| Aufgabe | Berechne für [mm] k,l\in \IN_{0}
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{sin(kx)cos(lx) dx} [/mm] |
Kann mir jemand dabei helfen, es müsste 0 herauskommen.
Hat jemand einen Rechenweg?
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Hallo Zorba!
Wie bereits hier für einen Spezialfall Deiner Aufgabe angedeutet, musst Du bei dieser Aufgabe mehrfach partiell integrieren.
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:23 Do 03.01.2008 | | Autor: | max3000 |
Was willst du berechnen? Geht es hier zufällig über Fouriertransformation?
Dann argumentiere mit der Symmetrieeigenschaft vom Sinus, damit werden die Koeffizienten vom Cosinusteil alle 0.
Wenns hier doch nicht um Fouriertransformation geht, vergess einfach, was ich hier geschrieben habe ^^.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:07 Do 03.01.2008 | | Autor: | Zorba |
Vielen vielen Dank schonmal.
Ich weiß irgendwie aber grad nicht, wie ich hier partiell integrieren kann, wie würde der 1. Schritt lauten? Muss ich nicht Fallunterscheidungen für k und l machen?
Ja es geht hier irgendwie um Fouriertransformation, aber ich hab irgendwie keine Ahnung wie ich von Fourier-Reihen zum Integral komme und wie mir das hier helfen kann. Wie genau meinst du das mit dem Nutzen der Symmetrieeigenschaft und den Koeffizienten, wäre dir sehr dankbar, wenn du mir das erklären könntest!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:14 Do 03.01.2008 | | Autor: | max3000 |
Ich hab das jetzt so verstanden, dass du die Funktion [mm] f_t(x)=sin(tx) [/mm] mit Fouriertransformation berechnen sollst, ist das richtig?
Da diese Funktion punktsymmetrisch ist, werden alle Koeffizienten [mm] a_k [/mm] von Cos(kx) gleich 0, da der Cosinus achsensymmetrisch ist. Desswegen wäre es gar nicht nötig die [mm] a_k [/mm] zu berechnen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:18 Do 03.01.2008 | | Autor: | Zorba |
Nein, ich soll das Integral aus meiner Ausgangsfrage berechnen.
Und ich versteh das was du schreibst auch nicht wirklich, was sind die ak zum Beispiel?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:49 Do 03.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Nein, ich soll das Integral aus meiner Ausgangsfrage
> berechnen.
> Und ich versteh das was du schreibst auch nicht wirklich,
> was sind die ak zum Beispiel?
Er meint die Fourierkoeffizienten.
Aber das ist für das Integral gar nicht wichtig. Schauen wir uns das Problem mal genauer an:
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{\sin(kx)\cos(lx) dx} [/mm], [mm]k,l\in\IN_0[/mm].
Erste Feststellung: der Integrand [mm]\sin(kx)\cos(lx)[/mm] ist eine periodische Funktion. Daher darf man statt der Grenzen 0 und [mm]2\pi[/mm] jedes beliebige Intervall der Länge [mm]2\pi[/mm] nehmen. Ich wähle hier das Intervall von [mm]-\pi[/mm] bis [mm]+\pi[/mm].
(Falls dir das nicht einleuchtet, kannst du auch eine Substitution [mm]z=x-\pi[/mm] machen, dann wird aus dem Integral
[mm] (-1)^{k+l} \integral_{-\pi}^{+\pi}{\sin(kx)\cos(lx) dx} [/mm],
da [mm]\sin(kx-k\pi) = (-1)^k \sin(kx)[/mm] und [mm] \cos(lx-l\pi) = (-1)^l\cos(lx)[/mm].)
Zweite Feststellung: da der Sinus eine ungerade Funktion ([mm]\sin(-x) = -\sin(x)[/mm]) und der Cosinus eine gerade Funktion ([mm]\cos(-x) = \cos(x)[/mm]) ist, ist
[mm] \sin(kx)\cos(lx) [/mm]
für [mm]k>0[/mm] eine ungerade Funktion. Daher ist das Integral für [mm]k>0[/mm] gleich 0.
Du musst also nur noch den Fall k=0 wirklich ausrechnen, und das überlasse ich dir 
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:25 Do 03.01.2008 | | Autor: | Zorba |
Erstmal vielen Dank für die Mühe und die ausführliche Antwort.
Mir ist das zum Teil jetzt klarer geworden.
Aber noch nicht ganz:
Warum muss ich den Fall k< 0 nicht betrachten?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:34 Do 03.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Erstmal vielen Dank für die Mühe und die ausführliche
> Antwort.
> Mir ist das zum Teil jetzt klarer geworden.
> Aber noch nicht ganz:
> Warum muss ich den Fall k< 0 nicht betrachten?
Weil in der Aufgabe steht, dass [mm]k\in\IN_0[/mm].
Ganz abgesehen davon ändert das Integral nur sein Vorzeichen, wenn du k durch -k ersetzt. Und 0 bleibt 0.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:35 Do 03.01.2008 | | Autor: | Zorba |
Oh danke, natuerlich
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:43 Do 03.01.2008 | | Autor: | Zorba |
Hab leider doch noch eine Frage:
Kann ich einfach behaupten, dass durch die Multiplikation einer geraden Funktion mit einer ungeraden wieder eine ungerade entsteht? Ich meine, es ist anschaulich klar, aber wie schreib ich das formal auf?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:51 Do 03.01.2008 | | Autor: | Marcel |
>
> Hab leider doch noch eine Frage:
> Kann ich einfach behaupten, dass durch die Multiplikation
> einer geraden Funktion mit einer ungeraden wieder eine
> ungerade entsteht? Ich meine, es ist anschaulich klar, aber
> wie schreib ich das formal auf?
Hallo,
ja, das kannst Du. Wenn $u: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] eine ungerade und $g: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] eine gerade Funktion ist (d.h. es gilt für alle $x [mm] \in \IR$: [/mm] $g(-x)=g(x)$ bzw. $u(-x)=-u(x)$), so gilt für deren Produkt
$p: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] mit $p(x)=g(x)*u(x)$ ($x [mm] \in \IR$) [/mm] ja:
$p(-x)=g(-x)*u(-x)=g(x)*(-u(x))=-g(x)*u(x)=-p(x)$ für jedes $x [mm] \in \IR$.
[/mm]
Also ist $p$ ungerade.
Gruß,
Marcel
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