Sin-Wert (36) ohne Taschenr. < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:32 Mi 19.10.2011 | | Autor: | herbi_m |
| Aufgabe | | Berechnen Sie den Sinuswert von 36 ohne Taschenrechner. |
Hallo,
unsere Mathelehrerin hat uns für Montag die oben angegebene Aufgabe gestellt. Leider habe ich keine Ahnung, wie ich hier vorgehen kann.
Hat jemand einen Tipp für mich?
Vielen Dank!
herbi
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo [mm] herbi_m, [/mm] ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
das klingt schwieriger, als es ist.
> Berechnen Sie den Sinuswert von 36 ohne Taschenrechner.
> Hallo,
> unsere Mathelehrerin hat uns für Montag die oben
> angegebene Aufgabe gestellt. Leider habe ich keine Ahnung,
> wie ich hier vorgehen kann.
> Hat jemand einen Tipp für mich?
Dieser Wert kommt in allen möglichen Figuren, die den goldenen Schnitt repräsentieren, an vielen Stellen vor.
Ich gehe davon aus, dass Ihr über folgende Sätze verfügt: Sinussatz, Cosinussatz, Additionstheoreme (incl. Doppel- und Halbwinkelsätze).
Zeichne Dir mal ein regelmäßiges Fünfeck auf, zeichne alle Diagonalen ein (es gibt fünf), und bestimme die vorkommenden Winkel. Dann such nach einem Dreieck, das die Winkel 72°, 72°, 36° hat und bestimme alle seine Seitenlängen. Du darfst einfach annehmen, dass die Seitenlänge des Fünfecks =1 ist.
Wenn Du all das hast - und es ist wirklich nicht sehr aufwändig, weil die Figur so symmetrisch ist -, dann kannst Du sehr einfache Beziehungen der Seitenlängen mit [mm] \sin{36^{\circ}} [/mm] und [mm] \cos{36^{\circ}} [/mm] feststellen und daraus den gesuchten Wert bestimmen.
Du gibst leider nicht an, in welcher Klassenstufe Du bist und ob Du z.B. im Leistungskurs bist. Ich nehme es nicht an. Wenn doch, könntest Du möglicherweise über komplexe Zahlen und fünfte Potenzen einen noch kürzeren Weg finden, auch wenn der oben skizzierte nicht wirklich schwierig ist.
Eine dritte Möglichkeit ist, [mm] \sin{18^{\circ}}=x [/mm] zu setzen und mit der Zerlegung 90°=36°+36°+18°=2*18°+2*18°+18° und Doppelwinkelsätzen zu arbeiten. Dabei braucht man aber etwas Geschick, weil Gleichungen 5. Grades vorkommen, die man auf solche 2. Grades zurückführen muss, um sie lösen zu können. Das geht normalerweise gar nicht, hier mit ein paar guten Ansätzen aber ausnahmsweise doch, so dass Du erst x und damit dann auch [mm] \sin{36^{\circ}}=2x\wurzel{1-x^2} [/mm] bestimmen kannst.
Der Wert, den Du erhalten wirst, ist nicht sehr kompliziert aufgebaut und enthält eine Wurzel, die Dich nach all dieser Vorrede nicht mehr überraschen wird.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:28 Do 20.10.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
Noch zwei Hinweise:
Da ja 36°=180°/5 ist, gibt es eine Menge praktischer Zusammenhänge. Außerdem kann man sich gut zunutze machen, dass:
1) [mm] \sin{(180^{\circ}-\alpha)}=\sin{(\alpha)} [/mm] und
2) [mm] \cos{(180^{\circ}-\alpha)}=-\cos{(\alpha)} [/mm] ist.
Im Fünfecke hilft das z.B., um [mm] \sin{108^{\circ}}=\sin{72^{\circ}} [/mm] zu ersetzen.
Außerdem gilt aber auch:
3) [mm] \sin{(72^{\circ}+72^{\circ})}=\sin{144^{\circ}}=\sin{36^{\circ}}
[/mm]
Allein damit und
4) [mm] \sin{(36^{\circ}+36^{\circ})}=\sin{72^{\circ}}
[/mm]
lässt sich die Aufgabe lösen, wenn man die auftauchenden Cosinusterme über den trigonometrischen Pythagoras
5) [mm] \sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1
[/mm]
ersetzt.
***
Der zweite Hinweis:
Beim Fünfeck genügt eine ganz spartanische Form. Stelle das Fünfeck so vor Dich, dass es auf einer Seite liegt und zeichne die beiden Diagonalen ein, die von der oben liegenden Ecke aus verlaufen. Sie unterteilen das Fünfeck in drei Dreiecke, von denen die beiden äußeren kongruent zueinander sind. Du brauchst also nur das mittlere und eins der äußeren Dreiecke zu bestimmen.
Auch hier: [mm] \sin{108^{\circ}}=\sin{72^{\circ}} [/mm] und [mm] \cos{108^{\circ}}=-\cos{72^{\circ}}
[/mm]
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:51 Sa 22.10.2011 | | Autor: | herbi_m |
Ich habe noch eine Frage: Was genau sind die Halbwinkelsätze? Ich habe gestern noch den ganzen Tag daran gesessen, aber komme einfach auf kein Ergebnis.
Wenn ich dich richtig verstanden habe, muss ich von einem Dreieck mit den winkeln 72Grad, 72Grad und 36Grad ausgehen.
Hast du noch einen Tipp oder am besten einen Ansatz für mich, von dem aus ich weiterrechnen kann?
Vielen Dank und liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:56 Sa 22.10.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
Aus dem Fünfeck kannst Du schön zeigen, daß bei diesem Dreieck die Seitenverhältnisse zueinander dem Goldenen Schnitt [mm] $\Phi$ [/mm] entsprechen (Wikipedia hat nen Link zu den ganzen Beweisen).
Aus dem Sinussatz für das Dreieck und der Formel für Winkeladditionen beim Sinus (was ist denn [mm] $\sin(72^\circ)$?) [/mm] folgt dann
[mm] $\cos(36^\circ)=\frac{\Phi}2$
[/mm]
und daraus der Sinus.
ciao
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:03 Do 20.10.2011 | | Autor: | herbi_m |
Vielen Dank schonmal für die vielen Tipps, ich werde mich gleich mal an die Arbeit machen!
lg herbi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:29 So 23.10.2011 | | Autor: | herbi_m |
Hallo nochmal.
Ich krieg es einfach nicht hin.
Ich hab jetzt ein Dreieck aus aus dem Fünfeck gesucht, dass als Seitenlängen einmal die Grundseite a (also die Seitenlänge des Fünfecks hat) und zweimal die Seitenlänge d (Diagonale des Fünfecks) hat.
Für d habe ich [mm] a/2(1+\wurzel{5}) [/mm] errechnet.
Ich dachte mit nun, dass ich, um den Sinus von 36Grad zu errechnen zunächst einmal den Sinuswert von 18Grad errechne. Das geht über die Beziehung Sinus = Gegenkathete durch Hypotenus, in meinem Fall also 1/2a durch d. Der Wert, den ich erhalte, wenn ich a gleich 1 setze stimmt auch tatsächlich mit dem Sinuswert von 18 überein. aber ich bekomme es jetzt aus irgendeinem Grund nicht hin, den Wert für sin 36 korrekt auszurechnen.
Ich erhalte ja, um Sinus (36) auszurechnen, Sinus (18+18) = 2 sin (18)cos(18), wobei ich das zu [mm] 2sin(18)\wurzel{1-sin^2(18)} [/mm] umformen kann. Aber wenn es nun darum geht, das zu vereinfachen, komme ich einfach nicht weiter!
Kann mir nochmal jemand helfen?!
Lieben Gruß.
Herbi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:39 So 23.10.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
für sin18° hast du doch [mm] 1/(1+\wurzel{5}) [/mm] raus. das wird schöner, wenn du es
mit [mm] (1-\wurzel{5}) [/mm] erweiterst. (die Wurzel im nenner geht weg!) dann einfach in deine formel einsetzen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:04 Mo 24.10.2011 | | Autor: | herbi_m |
also, ich habe jetzt für sin 18 = [mm] \wurzel{5}-1 [/mm] durch 4 heraus. Soweit bekomme ich das ja auch alles hin. Mein Problem ist es nun leider nur, diesen Wert eingesetzt in 2 sin 18 mal [mm] \wurzel{1-sin^2} [/mm] korrekt auszurechnen, sodass ich am Ende den richtigen wert für sin 36 heraus bekomme. Über eine Rechnung mit zwischenschritten würde ich mich sehr freuen.
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Hallo [mm] herbi_m,
[/mm]
Du schlägst Dich ja jetzt schon einige Tage tapfer mit dieser Aufgabe herum und bist nun fast am Ziel.
[mm] \sin{18^{\circ}}=\bruch{\wurzel{5}-1}{4} [/mm] ist richtig.
Dann ist [mm] cos{18^{\circ}}=\wurzel{1-\left(\bruch{\wurzel{5}-1}{4}\right)^2}=\bruch{1}{4}\wurzel{16-(\wurzel{5}-1)^2}=\bruch{1}{4}\wurzel{16-5+2\wurzel{5}-1}=\bruch{\wurzel{2}}{4}\wurzel{5+\wurzel{5}}
[/mm]
Also ist [mm] \sin{36^{\circ}}=2\sin{18^{\circ}}\cos{18^{\circ}}=\bruch{(\wurzel{5}-1)}{2}*\bruch{\wurzel{2}}{4}*\wurzel{5+\wurzel{5}}= \bruch{\wurzel{2}}{8}*\wurzel{(5+\wurzel{5})*(\wurzel{5}-1)^2}= \bruch{\wurzel{2}}{8}*\wurzel{(5+\wurzel{5})*(6-2\wurzel{5})}=
[/mm]
[mm] \bruch{1}{4}\wurzel{(5+\wurzel{5})(3-\wurzel{5}}=\cdots
[/mm]
[mm] \cdots=\bruch{1}{4}\wurzel{10-2\wurzel{5}}=\bruch{\wurzel{2}}{4}\wurzel{5-\wurzel{5}}
[/mm]
Mehr kann man leider nicht vereinfachen.
Grüße
reverend
PS: [mm] \cos{36^{\circ}} [/mm] ist einfacher aufgebaut. 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:49 Mo 24.10.2011 | | Autor: | Blech |
> PS: $ [mm] \cos{36^{\circ}} [/mm] $ ist einfacher aufgebaut.
Ich hab mich auch schon gefragt, warum es unbedingt der Sinus sein soll. =)
ciao
Stefan
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