Simultane Diagonalisierbarkeit < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:10 Do 27.12.2007 | | Autor: | Maja83 |
| Aufgabe | Zwei Matrizen A,B [mm] \in \IR^{nxn} [/mm] heißen simultan diagonalisierbar, wenn es
eine invertierbare Matrix T [mm] \in \IR^{nxn} [/mm] gibt, so dass sowohl [mm] T^{-1}AT [/mm] als auch [mm] T^{-1}BT [/mm] Diagonalmatrizen sind.
Seien A,B diagonalisierbar. Zeigen Sie anhand der folgenden Schritte, dass A,B genau dann simultan diagonalisierbar sind, wenn A,B kommutieren, d.h., wenn AB = BA gilt:
(1) A,B simultan diagonalisierbar [mm] \Rightarrow [/mm] AB=BA
Sei nun AB=BA.
(2)Laut Annahme gibt es eine invertierbare Matrix U mit
[mm] U^{-1}AU [/mm] = D := diag ( [mm] \lambda_{1} I_{\mu 1}, [/mm] ..., [mm] \lambda_{l} I_{\mu l}), [/mm] wobei [mm] \lambda_{1},..., \lambda_{l} [/mm] paarweise verschieden seien. Zeigen Sie, dass [mm] DU^{-1}BU =U^{-1}BUD.
[/mm]
(3) Folgern Sie, dass C:= [mm] U^{-1}BU [/mm] die Gestalt C = diag [mm] (C_{1},...,C_{l})
[/mm]
mit diagonalisierbaren Matrizen [mm] C_{k} \in \IR^{\mu_{k}x\mu_{k}} [/mm] hat.
(4) Laut (c) gibt es invertierbare Matrizen [mm] V_{k} [/mm] mit [mm] V^{-1}_{k} C_{k}V_{k} [/mm] = [mm] \Delta_{k} [/mm] für alle k, wobei die [mm] \Delta_{k} [/mm] Diagonalmatrizen
sind. Setzen Sie V := [mm] diag(V_{1},..., V_{l}), [/mm] T :=UV und berechnen Sie [mm] T^{-1}AT [/mm] und [mm] T^{-1}BT. [/mm] |
Hallo zusammen!
Ich soll die Aufgabe also in den angegebenen Kleinschritten lösen. Teil 1 habe ich soweit auch geschaft.
Nun weiß ich aber nicht wie ich bei Teil 2 loslegen soll. Könnt ihr mir helfen, dass ich die Aufgabe Schritt für Schritt verstehen und lösen kann?
Das wäre super,
liebe Grüße,
Maja
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:12 Do 27.12.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
> Zwei Matrizen A,B [mm]\in \IR^{nxn}[/mm] heißen simultan
> diagonalisierbar, wenn es
> eine invertierbare Matrix T [mm]\in \IR^{nxn}[/mm] gibt, so dass
> sowohl [mm]T^{-1}AT[/mm] als auch [mm]T^{-1}BT[/mm] Diagonalmatrizen sind.
[mm] [\ldots]
[/mm]
> (1) A,B simultan diagonalisierbar $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ AB=BA. Sei nun AB=BA.
> (2)Laut Annahme gibt es eine invertierbare Matrix U mit
> [mm]U^{-1}AU[/mm] = D := diag ( [mm]\lambda_{1} I_{\mu 1},[/mm] ..., [mm]\lambda_{l} I_{\mu l}),[/mm] wobei [mm]\lambda_{1},...,\lambda_{l}[/mm]
> paarweise verschieden seien. Zeigen Sie, dass [mm]DU^{-1}BU =U^{-1}BUD.[/mm]
>
[mm] [\ldots]
[/mm]
> Nun weiß ich aber nicht wie ich bei Teil 2 loslegen soll.
Zur (2).
Sei [mm] U^{-1}AU=D [/mm] unter den obigen Voraussetzungen.
Zu zeigen: [mm] \red{DU^{-1}BU}=\blue{U^{-1}BUD}
[/mm]
Ich habe die zwei Farben benutzt, da wir einmal die beiden Seiten getrennt voneinander betrachten wollen - der Übersichtlichkeit wegen.
Beginnen wir mit dem roten Teil:
[mm] \red{DU^{-1}BU} [/mm] nach Voraussetzung: [mm] D=U^{-1}AU
[/mm]
[mm] \red{D*U^{-1}*B*U}=U^{-1}*A*U*U^{-1}*B*U=U^{-1}*A*E*B*U=U^{-1}*A*B*U [/mm] mit E ist Einheitsmatrix und [mm] U^{-1}*U=E [/mm]
Jetzt folgt der blaue Teil, selbe Überlegung: [mm] D=U^{-1}AU
[/mm]
[mm] \blue{U^{-1}*B*U*D}=U^{-1}*B*U*U^{-1}*A*U=U^{-1}*B*E*A*U=U^{-1}*B*A*U
[/mm]
Nachdem wir umgeformt haben, muss gelten:
[mm] \red{D*U^{-1}*B*U}=U^{-1}*A*B*U=U^{-1}*B*A*U=\blue{U^{-1}*B*U*D}
[/mm]
ergo: [mm] U^{-1}*A*B*U=U^{-1}*B*A*U
[/mm]
[mm] U^{-1}*A*B*U=U^{-1}*B*A*U [/mm]
[mm] \Rightarrow U*U^{-1}*A*B*U=U*U^{-1}*B*A*U [/mm]
[mm] \Rightarrow A\cdot{}B*U=B*A*U
[/mm]
[mm] \Rightarrow A*B*U*U^{-1}=B*A*U*U^{-1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow A\cdot{}B=B\cdot{}A [/mm] gilt nach (1).
Insgesamt: [mm] \red{DU^{-1}BU}=\blue{U^{-1}BUD} [/mm] q.e.d.
Viel Erfolg noch bei den nächsten Schritten, die wesentlich schwerer sind.
Ich hoffe, ich konnte dir weiterhelfen.
MfG barsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:23 Do 27.12.2007 | | Autor: | Maja83 |
Hallo Barsch!
Vielen lieben Dank für deine Hilfe! Das hat mir sehr geholfen.. danke, verstanden!
Bei Teil 3 und 4 weiß ich allerdings noch nicht weiter.. aber ich versuchs weiterhin.
Vielleicht könnt ihr mir ja helfen..
dank euch,
Maja
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| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 21:56 Mo 07.01.2008 | | Autor: | Maja83 |
Hallo!
Kann mir irgendjemand bei Teilaufgabe 2 und 3 weiterhelfen???
Ich verzweifel da ganz schön..
Liebe Grüße,
Maja
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:13 Mi 09.01.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 12:26 Do 10.01.2008 | | Autor: | Maja83 |
Hallo!
Bei Teil 3 komme ich nicht weiter, aber Teil 4 habe ich jetzt versucht:
Ich kann ja annehmen, dass alles in Teil 1-3 stimmt. Also:
[mm] T^{-1}AT [/mm] = [mm] (UV)^{-1}AUV [/mm] = [mm] V^{-1}U^{-1}AUV=V^{-1}DV=D
[/mm]
[mm] T^{-1}BT [/mm] = [mm] (UV)^{-1}BUV [/mm] = [mm] V^{-1}U^{-1}BUV=V^{-1}CV=C
[/mm]
Stimmt das so?
Liebe grüße,
Maja
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:23 Sa 12.01.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:24 Fr 11.01.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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