Simpson Regel/Herleitung < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!
Habe einige Schwierigkeiten mit der Simpson-Regel. Im Rahmen der Herleitung wird ja beschrieben wie die Integrandenfunktion durch eine Parabel ersetzt wird. Bis hierher alles klar. Dann muss aber auch die Stammfunktion dieser allg. Parabel gebildet werden. Mich verwirren diese ganzen Buchstaben ein bisschen, wollte mal fragen wie man diese Funktion integriert:
Es steht:
[mm] y=y_{i-1}+\bruch{y_i-y_{i-1}}{\Delta(x)}*(x-x_{i-1})+\bruch{y_{i-1}-2y_i+y_{i+1}}{2(\Delta(x))^2}*(x-x_{i-1})(x-x_i)
[/mm]
Dann steht man solle [mm] \integral_{x_{i-1}}^{x_{i+1}}{ydx} [/mm] bilden das [mm] \bruch{y_{i-1}+4y_i+y_{i+1}}{3}*\Delta(x) [/mm] sein soll.
Die Integrationsvariable ist ja x,also muss ich [mm] y_{i-1} [/mm] usw. als Konstanten betrachten, aber was ist mit [mm] (x-x_{i-1}) [/mm] oder [mm] \Delta(x)....
[/mm]
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Könnte mir bitte jamand helfen?
Vielen Dank!
Gruß
Angelika
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:00 Mi 23.07.2008 | | Autor: | max3000 |
Gestattest du mir nochmal neu anzufangen? Diese Variablennamen sind irgendwie seltsam, besonders das [mm] \Delta(x).
[/mm]
Du hast 3 Wertepaare gegeben: [mm] (x_i,y_i), [/mm] für i=0,1,2
Und hast ein quadratisches Polynom entsprechend dem Newton-Ansatz:
[mm] p(x)=c_0+c_1*(x-x_0)+c_2*(x-x_0)*(x-x_1)
[/mm]
Kommt sowas überhaupt schon in der Schule dran?
Nun musst du die Koeffizienten bestimmen, das macht man mit dem Steigungsshema. Da kommt dann raus:
[mm] c_0=y_0
[/mm]
[mm] c_1=\bruch{y_1-y_0}{x_1-x_0}
[/mm]
[mm] c_2=\bruch{y_0(x_2-x_1)-2y_1(x_2-x_0)+y_2(x_1-x_0)}{(x_2-x_1)(x_1-x_0)(x_2-x_0)}
[/mm]
Der letzte ist etwas umständlich zu berechnen, aber nach langem Umstellen kommt man drauf.
Ich glaube bei euch wurden die Stützstellen äquidistant gewählt, das heißt die Stützstellen sind im selben Abstand voneinander.
Dann ist [mm] x_1-x_0=x_2-x_1=:h [/mm] und [mm] x_2-x_0=2h
[/mm]
Das kannst du nochmal einsetzen und dann kommt man eigentlich auf
[mm] c_0=y_0
[/mm]
[mm] c_1=\bruch{y_1-y_0}{h}
[/mm]
[mm] c_2=\bruch{y_0-2y_1+y_2}{2h^2}
[/mm]
Diese Koeffizienten sind jetzt von x unabhängig, das heißt wenn du das Polynom integrierst, dann gilt:
[mm] \integral_{x_0}^{x_2}p(x)dx=
[/mm]
[mm] c_0\integral_{x_0}^{x_2}1*dx+c_1\integral_{x_0}^{x_2}(x-x_0)dx+c_2\integral_{x_0}^{x_2}(x-x_0)(x-x_1)dx
[/mm]
Das geht nun relativ einfach zu integrieren und somit solltest du auf die Simson-Regel kommen.
Schön Gruß
Max
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Vielen Dank für diese ausführliche Erklärung!
> Gestattest du mir nochmal neu anzufangen? Diese
> Variablennamen sind irgendwie seltsam, besonders das
> [mm]\Delta(x).[/mm]
[mm]\Delta(x)[/mm] müsste gleich in deinem Beispiel h sein.
>
> Du hast 3 Wertepaare gegeben: [mm](x_i,y_i),[/mm] für i=0,1,2
>
> Und hast ein quadratisches Polynom entsprechend dem
> Newton-Ansatz:
>
> [mm]p(x)=c_0+c_1*(x-x_0)+c_2*(x-x_0)*(x-x_1)[/mm]
>
> Kommt sowas überhaupt schon in der Schule dran?
Eigentlich nicht, aber da es in meinem Buch ist, hat es mich interessiert...
>
> Nun musst du die Koeffizienten bestimmen, das macht man mit
> dem Steigungsshema. Da kommt dann raus:
>
> [mm]c_0=y_0[/mm]
Das entspricht dem Absolutglieds, oder?Oder auf die quadratische F. bezogen dem Parameter c.
> [mm]c_1=\bruch{y_1-y_0}{x_1-x_0}[/mm]
Das entspricht der Steigung einer linearen Funktion dem Parameter m, oder?Bei der quadratischen F. parameter b.
>
> [mm]c_2=\bruch{y_0(x_2-x_1)-2y_1(x_2-x_0)+y_2(x_1-x_0)}{(x_2-x_1)(x_1-x_0)(x_2-x_0)}[/mm]
Wie leitest du das genau her?Aber jedenfalls entspricht es der Steigung des quadratischen Gliedes einer quadratischen Funktion.Dem Koeffizient a.
>
> Der letzte ist etwas umständlich zu berechnen, aber nach
> langem Umstellen kommt man drauf.
>
> Ich glaube bei euch wurden die Stützstellen äquidistant
> gewählt, das heißt die Stützstellen sind im selben Abstand
> voneinander.
>
> Dann ist [mm]x_1-x_0=x_2-x_1=:h[/mm] und [mm]x_2-x_0=2h[/mm]
>
> Das kannst du nochmal einsetzen und dann kommt man
> eigentlich auf
>
> [mm]c_0=y_0[/mm]
> [mm]c_1=\bruch{y_1-y_0}{h}[/mm]
> [mm]c_2=\bruch{y_0-2y_1+y_2}{2h^2}[/mm]
>
> Diese Koeffizienten sind jetzt von x unabhängig, das heißt
> wenn du das Polynom integrierst, dann gilt:
Also kann ich wie vermutet diese also konstante Faktoren ausklammern...
>
> [mm]\integral_{x_0}^{x_2}p(x)dx=[/mm]
>
> [mm]c_0\integral_{x_0}^{x_2}1*dx+c_1\integral_{x_0}^{x_2}(x-x_0)dx+c_2\integral_{x_0}^{x_2}(x-x_0)(x-x_1)dx[/mm]
>
> Das geht nun relativ einfach zu integrieren und somit
> solltest du auf die Simson-Regel kommen.
Ich hätte trotzdem noch ein paar Fragen zur Integration.Ich ahbe jetzt versucht zu integrieren und bin auf folgende Ergebnisse gekommen:
(1. Summand)
[mm] c_0*(x_2-x_0)
[/mm]
(2.Summand)
Stammfunktion: [mm] c_1(\bruch{x^2}{x}-x_0x)+C
[/mm]
[mm] c_1(\bruch{x_2^2}{2}+x_0*x_2-\bruch{x_0^2}{2}-x_0^2)
[/mm]
(3. Summand)
Stammfunktion: [mm] c_2(\bruch{x^3}{3}-\bruch{x_1x^2}{2}-\bruch{x_0x^2}{2}+x_0x_1x)+C
[/mm]
[mm] c_2[(\bruch{x_2^3}{3}-\bruch{x_1x_2^2}{2}-\bruch{x_0x_2^2}{2}+x_0x_1x_2)-(\bruch{x_0^3}{3}-\bruch{x_1x_0^2}{2}-\bruch{x_0x_0^2}{2}+x_0x_1x_0)]
[/mm]
Also steht:
[mm] c_0*(x_2-x_0)+c_1(\bruch{x_2^2}{2}+x_0*x_2-\bruch{x_0^2}{2}-x_0^2)+c_2[(\bruch{x_2^3}{3}-\bruch{x_1x_2^2}{2}-\bruch{x_0x_2^2}{2}+x_0x_1x_2)-(\bruch{x_0^3}{3}-\bruch{x_1x_0^2}{2}-\bruch{x_0x_0^2}{2}+x_0x_1x_0)]
[/mm]
Stimmt es bis hierher?
Wie kann ich umformen sodass ich [mm] auf:\bruch{y_0+4y_1+y_2}{3}*h [/mm] komme?
Gruß
Angelika
>
> Schön Gruß
>
> Max
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:49 Do 24.07.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Da alle Integrale von [mm] x_{0} [/mm] bis [mm] x_{2} [/mm] gehen, würde ich das ganze zu einem Integral zusammenfassen.
Also:
$$ [mm] c_0\integral_{x_0}^{x_2}1\cdot{}dx+c_1\integral_{x_0}^{x_2}(x-x_0)dx+c_2\integral_{x_0}^{x_2}(x-x_0)(x-x_1)dx [/mm] $$
$$ [mm] =\integral_{x_{0}}^{x_2}(c_{0}+c_{1}x-c_{1}x_{0}+c_{2}(x-x_0)(x-x_1))dx [/mm] $$
$$ [mm] =\integral_{x_{0}}^{x_2}(c_{0}+c_{1}x-c_{1}x_{0}+c_{2}x²-c_{2}(x_{0}+x_{1})*x+x_{0}x_{1})dx [/mm] $$
$$ [mm] =\integral_{x_{0}}^{x_2}(c_{2}x²+c_{1}x-c_{2}(x_{0}+x_{1})*x+x_{0}x_{1}+c_{0}-c_{1}x_{0})dx [/mm] $$
$$ [mm] =\integral_{x_{0}}^{x_2}(c_{2}x²+(c_{1}-c_{2}(x_{0}+x_{1}))*x+x_{0}x_{1}+c_{0}-c_{1}x_{0})dx [/mm] $$
Die Stammfunktion dazu ist nun:
[mm] \bruch{c_{2}}{3}*x³+\bruch{c_{1}-c_{2}(x_{0}+x_{1})}{2}*x²+(x_{0}x_{1}+c_{0}-c_{1}x_{0})*x
[/mm]
Also ist [mm] F(x_{2})-F(x_{0})=
[/mm]
[mm] \bruch{c_{2}}{3}*x_{2}^{3}+\bruch{c_{1}-c_{2}(x_{0}+x_{1})}{2}*x_{2}^{2}+(x_{0}x_{1}+c_{0}-c_{1}x_{0})*x_{2}-\bruch{c_{2}}{3}*x_{0}^{3}-\bruch{c_{1}-c_{2}(x_{0}+x_{1})}{2}*x_{0}^{2}-(x_{0}x_{1}+c_{0}-c_{1}x_{0})*x_{0}
[/mm]
Wenn du das jetzt noch zusammenfasst, kommst du wahrscheinlich aufs Ergebnis
Marius
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Danke Marius!
Ich hab jetzt mal versucht deine Stammfunktion zu verwenden und zu vereinfachen. Es wird zwar einfacher, aber nicht so einfach wie ich es haben will. Stecke irgendwie fest.Ist es dir gelungen auf [mm] \bruch{y_0+4y_1+y_2}{3}*h [/mm] umzuformen?
Ich habe es so gemacht:
[mm] (x_0x_1+c_0-c_1x_0)*(x_2-x_0)+(\bruch{c_1-c_2(x_0+x_1)}{2})(x_2^2-x_0^2)+\bruch{c_2}{3}*(x_2^3-x_0^3)
[/mm]
Es gilt [mm] x_2-x_1=h [/mm] und [mm] x_2-x_0=2h [/mm] deshalb habe ich mal wo es ging ersetzt:
[mm] (x_0x_1+c_0-c_1x_0)*2h+(\bruch{c_1-c_2(x_0+x_1)}{2})2h(x_2+x_0)+\bruch{c_2}{3}*(x_2^3-x_0^3)
[/mm]
[mm] 2hx_0x_1+2hc_0-2hc_1x_0+hc_1x_2-c_2x_0x_2h-c_2x_1x_2h+hc_1x_0-c_2x_0^2h-c_2x_1x_0h+\bruch{c_2x_2^3}{3}-\bruch{c_2x_0^3}{3}
[/mm]
[mm] h(2x_0x_1+2c_0-2c_1x_0+c_1x_2-c_2x_0x_2-c_2x_1x_2+c_1x_0-c_2x_0^2-c_2x_1x_0)+\bruch{c_2x_2^3}{3}-\bruch{c_2x_0^3}{3}
[/mm]
Ich hoffe ich hab mich bei den ganzen Buchstaben nicht verschrieben.
Wie soll es jetzt weitergehen? Ich sehe nicht wie man das noch wesentlich vereinfachen könnte?Oder ist es an der Zeit [mm] c_{0,1,2} [/mm] einzusetzen?
Danke!
Gruß
Angelika
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http://dat.schwanecke.net/research/publications/schwanecke-2000-nia.pdf