Signifikanz-Niveau < Statistik/Hypothesen < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Ein Mitarbeiter zweifelt die Herstellerangaben - mindestens 98% fehlerfreie Produktion einer Maschine - an. Der Mitarbeiter überprüft deshalb eine Zufallsstichprobe von 100 Stück und findet 4 defekte Stücke.
Überprüfen Sie auf dem 5 % Signifikanzniveau, ob die Zweifel berechtigt erscheinen. |
Ich habe die Wahrscheinlichkeiten, dass es bei 98%iger fehlerfreier Produktion von 100 zufällig ausgewählten Teilen 0,1,2,3 und 4 defekt sind, ausgerechnet mit folgenden Ergebnissen:
0 Defekte: 13.25 %
1 Defekte: 27.07 %
2 Defekte: 27.34 %
3 Defekte: 18.23 %
4 Defekte: 9.02 %
Die Wahrscheinlichkeit, dass es höchstens 4 Defekte gibt, liegt also bei 94.91 %
Meine Frage bezieht sich auf die Definition von "5 % Signifikanzniveau". Was ist damit gemeint?
Muss der Mitarbeiter die Behauptung mit den "98% fehlerfrei" nun anerkennen, weil die Wahrscheinlichkeit, mehr als 4 defekte Teile zu erwischen, bei 5.09% liegt, also knapp über der 5-Prozent-Marke?
Anders gefragt: Hätte es ein "6 % Signifikanzniveau" gegeben, könnte dann der Mitarbeiter die Herstellerangaben anzweifeln?
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:32 So 24.06.2007 | | Autor: | rabilein1 |
Oder darf man nur bis zu den drei Defekten rechnen?
Die Wahrscheinlichkeit, mehr als 3 defekte Teile zu ziehen, liegt bei 14.11 %.
Insofern liegt das im Rahmen des 5 % Signifikanzniveaus. Die Aussage des Herstellers muss also als wahr angesehen werden.
Mir ist nur nicht klar, ob ich "mehr als 3 Defekte sind schlecht" oder "weniger als 5 Defekte sind okay" als Maßstab nehmen muss.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:32 Mo 25.06.2007 | | Autor: | Marc |
Hallo rabilein1,
> Ein Mitarbeiter zweifelt die Herstellerangaben - mindestens
> 98% fehlerfreie Produktion einer Maschine - an. Der
> Mitarbeiter überprüft deshalb eine Zufallsstichprobe von
> 100 Stück und findet 4 defekte Stücke.
>
> Überprüfen Sie auf dem 5 % Signifikanzniveau, ob die
> Zweifel berechtigt erscheinen.
> Ich habe die Wahrscheinlichkeiten, dass es bei 98%iger
> fehlerfreier Produktion von 100 zufällig ausgewählten
> Teilen 0,1,2,3 und 4 defekt sind, ausgerechnet mit
> folgenden Ergebnissen:
>
> 0 Defekte: 13.25 %
> 1 Defekte: 27.07 %
> 2 Defekte: 27.34 %
> 3 Defekte: 18.23 %
> 4 Defekte: 9.02 %
>
> Die Wahrscheinlichkeit, dass es höchstens 4 Defekte gibt,
> liegt also bei 94.91 %
>
>
> Meine Frage bezieht sich auf die Definition von "5 %
> Signifikanzniveau". Was ist damit gemeint?
Ich probiere mal eine Antwort:
Mit dem Signifikanzniveau gibt man sich sozusagen die Irrtumswahrscheinlichkeit oder den Fehler 1. Art vor.
Die W'keit für ein defektes Produkt beträgt ja (laut Hersteller höchstens) p=0.02.
Damit kann man nun berechnen, mit welcher W'keit die Anzahl der defekten Stücke in einem bestimmtem Bereich liegt:
[mm] $P(X\in[0,k])=P(X\le [/mm] k)$ (Annahmebereich)
bzw. außerhalb dieses Bereichs liegt:
[mm] $P(X>k)=1-P(X\le [/mm] k)$ (Ablehnungsbereich)
Diese letzte W'keit ist der Fehler 1. Art, und nach dem einleitend gesagten muss nun ein minmales k bestimmt werden, so dass
[mm] $P(X>k)=\alpha$ [/mm] (bzw. [mm] $P(X>k)\le\alpha$)
[/mm]
Da hier die Anzahl X der defekten Stücke binomialverteilt ist, lautet diese Gleichung in der Schreibweise mit der kumulierten Binomialverteilung F:
[mm] $F_{0.02;100}(k+1)=\alpha$
[/mm]
Diese k kann man mit einer entsprechenden Tabelle finden, oder sogar direkt ausrechnen, denn die Größe des Intervalls (also k) hängt nur von n, [mm] $\mu$ [/mm] und [mm] $\sigma$ [/mm] und [mm] $\alpha$ [/mm] ab. Bei Interesse kann ich diese Formel auch herauskramen.
> Muss der Mitarbeiter die Behauptung mit den "98%
> fehlerfrei" nun anerkennen, weil die Wahrscheinlichkeit,
> mehr als 4 defekte Teile zu erwischen, bei 5.09% liegt,
> also knapp über der 5-Prozent-Marke?
Ich habe die W'keiten nicht nachgerechnet, deswegen meine Nachfrage:
Gilt also $P(X>4)=0.0509$?
Wir brauchen aber $P(X>k)<0.05$
Ich nehme an, dass dies aber für k=5 gilt, also
[mm] $P(X>5)\le [/mm] 0.05$
Dann wäre das k, von dem ich oben sprach, $k=5$. Mit einer W'keit von (weniger als) 0.05 erhält man dann Werte von X, die in dem Bereich $[6,100]$ liegen.
Aus der Sicht des Herstellers wäre also X=4 auf einem Signifikanzniveau von [mm] $\alpha=0.05$ [/mm] durchaus annehmbar.
> Anders gefragt: Hätte es ein "6 % Signifikanzniveau"
> gegeben, könnte dann der Mitarbeiter die Herstellerangaben
> anzweifeln?
Bei einem höheren Signifikanzniveau müsste der Ablehungsbereich ja größer werden und der Annahmebereich kleiner, also wird das k von oben kleiner ausfallen.
Es ist dann durchaus möglich, dass sich die 4 dann im Ablehnungbereich wieder findet.
Viele Grüße,
Marc
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:08 Mo 25.06.2007 | | Autor: | rabilein1 |
Hallo Marc, danke für deine ausführliche Erklärung.
Ich werde mir das mal zu Gemüte führen.
Das Allerwichtigste dabei finde ich deinen Satz "Mit dem Signifikanzniveau gibt man sich sozusagen die Irrtumswahrscheinlichkeit oder den Fehler 1. Art vor." Das war mir bisher so nicht gewusst.
Fehler der 1. Art heißt ja: Die Nullhypothese ist RICHTIG - aufgrund von Stichproben wird sie aber als FALSCH empfunden und deshalb fäschlicherweise verworfen.
Wenn das Signifikanz-Niveau 5 % betragen soll, so heißt das, dass ein solcher Fehler nur mit 5%iger-Wahrscheinlichkeit auftreten darf.
Okay, ich werde das dann mal unter diesem Aspekt weiter verfolgen.
Da der Mitarbeiter in meiner Aufgabe die Angaben des Hersteller anzweifelt, lautet die Nullhypothese also: "Der Hersteller lügt."
|
|
|
|
