Signatur der quadr. Form < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:08 So 26.06.2005 | | Autor: | DeusRa |
Hallo,
kann mir jemand von euch erklären wie man die Signatur einer quadratischen Form bestimmt ???
z.B. mit [mm]q(x)=(\alpha[sub]1[/sub]+\alpha[sub]2[/sub])^{2}+\alpha[sub]3[/sub]*\alpha[sub]4[/sub] ;
x=\vektor{\alpha[sub]1[/sub] \\ ... \\ \alpha[sub]4[/sub]}\in \IR^{4}[/mm]
Am Besten mit
Schritt 1:
Schritt 2:
....
Habe es bisher noch nicht ganz verstanden, und ich sitze an Übungsaufgaben, und würde diese gerne lösen.
Danke schön.
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Hallo DeusRa,
> kann mir jemand von euch erklären wie man die Signatur
> einer quadratischen Form bestimmt ???
> z.B. mit
> [mm]q(x)=(\alpha[sub]1[/sub]+\alpha[sub]2[/sub])^{2}+\alpha[sub]3[/sub]*\alpha[sub]4[/sub] ;
x=\vektor{\alpha[sub]1[/sub] \\ ... \\ \alpha[sub]4[/sub]}\in \IR^{4}[/mm]
>
Schritt1 : Bastle Dir aus der quadratischen Gleichung eine passende Matrix A:
[mm]
A\; = \;\left( {\begin{array}{*{20}c}
1 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & {{\raise0.7ex\hbox{$1$} \!\mathord{\left/
{\vphantom {1 2}}\right.\kern-\nulldelimiterspace}
\!\lower0.7ex\hbox{$2$}}} \\
0 & 0 & {{\raise0.7ex\hbox{$1$} \!\mathord{\left/
{\vphantom {1 2}}\right.\kern-\nulldelimiterspace}
\!\lower0.7ex\hbox{$2$}}} & 0 \\
\end{array} } \right)[/mm]
Schritt 2: Bestimme nun die Eigenwerte dieser Matrix A, indem Du die Gleichung [mm]\det \left( {A\; - \;\lambda \;I} \right)\; = \;0[/mm] löst.
Die Gleichung ist ein Polynom 4. Grades in [mm]\lambda[/mm].
Schritt 3: Die Matrix A hat dann p positve Eigenwerte, q negative Eigenwerte und r Eigenwerte 0. Das Tripel (p,q,r) nennt man dann die Signatur der Matrix A.
Gruß
MathePower
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