Signatur, darstellungsmatrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:16 Mo 10.04.2006 | | Autor: | Mikke |
Hallo!
und zwar hab ich hier eine aufgabe wo ich nicht weiterkomme...
ich weiß dass [mm] \beta [/mm] (A,B) = Spur (AB) eine nichtausgeartete symmetrische bilinearform auf M(n x n, [mm] \IR) [/mm] definiert.
nun soll ich zu [mm] \beta [/mm] die Signatur und den Positivitätsindex bestimmen.
Ich muss jetzt also eine Basis w finden mit der Darstellunsmatrix
[mm] M_{w} [/mm] ( [mm] \beta) [/mm] in der form [mm] M_{w} [/mm] ( [mm] \beta) [/mm] = [mm] \pmat{ \* & 0 \\ 0 & \*}.
[/mm]
Diese Darstellungmatrix muss also auf allen stellen außer bei [mm] a_{ij}, [/mm] mit i=j
nullen haben.
komme hier nicht weiter, welche basis bietet sich an??wie gehts dann weiter?
bitte um hilfe...
MfG mikke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:36 Mo 10.04.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo mikke!
> Hallo!
> und zwar hab ich hier eine aufgabe wo ich nicht
> weiterkomme...
> ich weiß dass [mm]\beta[/mm] (A,B) = Spur (AB) eine
> nichtausgeartete symmetrische bilinearform auf M(n x n,
> [mm]\IR)[/mm] definiert.
> nun soll ich zu [mm]\beta[/mm] die Signatur und den
> Positivitätsindex bestimmen.
> Ich muss jetzt also eine Basis w finden mit der
> Darstellunsmatrix
> [mm]M_{w}[/mm] ( [mm]\beta)[/mm] in der form [mm]M_{w}[/mm] ( [mm]\beta)[/mm] = [mm]\pmat{ \* & 0 \\ 0 & \*}.[/mm]
>
> Diese Darstellungmatrix muss also auf allen stellen außer
> bei [mm]a_{ij},[/mm] mit i=j
> nullen haben.
> komme hier nicht weiter, welche basis bietet sich an??
Schau dir doch mal die Basis [mm] $A^{i,j}$ [/mm] an mit [mm] $A^{i,j} [/mm] = [mm] (a^{i,j}_{k,\ell})_{k,\ell} \in \IR^{n \times n}$ [/mm] an, wobei [mm] $a^{i,j}_{k,\ell} [/mm] = 1$ ist falls $(i, j) = (k, [mm] \ell)$ [/mm] und [mm] $a^{i,j}_{k,\ell} [/mm] = 0$ sonst.
Berechne mal fuer allgemeine $(i, j)$, [mm] $(\nu, \mu)$ [/mm] das Produkt [mm] $A^{i,j} A^{\nu,\mu}$. [/mm] Das ist eigentlich das schwierigste. Damit kannst du dann sehr leicht [mm] $\beta(A^{i,j}, A^{\nu,\mu})$ [/mm] ausrechnen und bekommst so die Darstellungsmatrix.
> wie gehts dann weiter?
Das siehst du dann sicher 
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:28 Mo 10.04.2006 | | Autor: | Mikke |
danke schon mal, damit kann ich glaub ich shcon mal witermachen, aber wie genau bist du auf diese basis bekommen, was bedeutet das mit den zwei indizes bei der basis?verstehe das noch nicht ganz genau, vielleicht kannst du mir das noch mal erklären. gruß mikke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:43 Mo 10.04.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> danke schon mal, damit kann ich glaub ich shcon mal
> witermachen, aber wie genau bist du auf diese basis
> bekommen, was bedeutet das mit den zwei indizes bei der
> basis?verstehe das noch nicht ganz genau, vielleicht kannst
> du mir das noch mal erklären. gruß mikke
Die Matrizen [mm] $A^{i,j}$ [/mm] mit $i, j [mm] \in \{ 1, \dots, n \}$ [/mm] bilden die Basis, d.h. die Basis ist [mm] $\{ A^{1,1}, \dots, A^{1,n}, A^{2,1}, \dots, A^{2,n}, \dots, A^{n,1}, \dots, A^{n,n} \}$. [/mm] Wenn du dir die Matrizen [mm] $A^{i,j}$ [/mm] mal aufschreibst siehst du auch sofort warum das eine Basis ist: Jede Matrix $A [mm] \in \IR^{n \times n}$ [/mm] kann eindeutig als Linearkombination der [mm] $A^{i,j}$ [/mm] geschrieben werden: Ist naemlich $A = [mm] (a_{ij})_{ij}$, [/mm] so ist $A = [mm] \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij} A^{i,j}$.
[/mm]
Wie ich dadrauf gekommen bin? Diese Basis ist sozusagen die Standardbasis fuer [mm] $\IR^{n \times n}$. [/mm] Also hab ich sie einfach mal genommen (warum was kompliziertes wenns auch was einfaches gibt) und geschaut wie die Darstellungsmatrix aussieht. Und das hat halt gepasst :)
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:56 Mo 10.04.2006 | | Autor: | Mikke |
okay, mein problem ist jetzt aber wie ich dieses produkten von allgemeinen matrizen allgemein ausrechnen und hinschreiben kann. um dann mein [mm] \beta [/mm] zu bestimmen ..kannst du mir vielleicht hier auch nochmal helfen?wäre echt nett...danke ich hoffe die darstellungsmatrix bekomme ich dann hin.
lieber gruß mikke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:51 Mo 10.04.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo mikke!
> okay, mein problem ist jetzt aber wie ich dieses produkten
> von allgemeinen matrizen allgemein ausrechnen und
> hinschreiben kann. um dann mein [mm]\beta[/mm] zu bestimmen
> ..kannst du mir vielleicht hier auch nochmal helfen?wäre
> echt nett...danke ich hoffe die darstellungsmatrix bekomme
> ich dann hin.
Versuchs doch mal so: Setze $B := [mm] A^{i,j} A^{k,\ell}$ [/mm] und schreibe $B = [mm] (b_{\mu\nu})_{\mu,\nu=1,\dots,n}$. [/mm] Dann hast du ja eine explizite Formel fuer [mm] $b_{\mu\nu}$ [/mm] (Matrizenmultiplikation). Jetzt kannst du dir mal die Summanden dieser Formel anschauen; die sind entweder 0 oder 1. Wobei in einer solchen Summe die 1 hoechstens einmal auftritt. Daraus bekommst du jetzt einen Wert fuer [mm] $b_{\mu\nu}$, [/mm] der ist entweder 0 oder 1. Wenn du dir jetzt die ganze Matrix anschaust, wirst du feststellen, dass sie entweder auch wieder von der Form [mm] $A^{\lambda,\kappa}$ [/mm] ist fuer passende [mm] $\lambda,\kappa$, [/mm] oder dass sie $0$ ist.
(Du musst mehrere Fallunterscheidungen machen, bzw. hast dann sowas von der Form [mm]b_{\mu\nu} = \begin{cases} 1, & \text{eine Bedingung} \\ 0, & \text{sonst} \end{cases}[/mm].)
Hilft dir das weiter?
LG Felix
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