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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:49 So 24.06.2012 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | Bestimme die Signatur folgender symmetrisch reeller Matrix
A= [mm] \pmat{ 4 & 6&2 \\ 6 & 13 & 7 \\2&7&9 }
[/mm]
Gib eine Matrix S [mm] \in GL_n (\IR) [/mm] an, sodass [mm] S^t [/mm] A S die Gestalt [mm] \pmat{ I_p & 0 &0 \\ 0 & -I_q & 0\\0&0&0 } [/mm] hat |
(p,q) heißt die signatur der sym Bilinearform [mm] \beta.
[/mm]
A [mm] \in M_{n \times n}^{sym} (\IR) [/mm] ist die Signatur von [mm] \beta_A :\IR^n \times \IR^n [/mm] -> [mm] \IR [/mm]
[mm] \beta_A [/mm] (v,w) = [mm] v^t [/mm] A w.
[mm] q_{A} \vektor{x \\ y \\z} [/mm] = [mm] \vektor{x & y & z} [/mm] A * [mm] \vektor{x \\ y \\z} [/mm] = [mm] 4x^2 [/mm] + [mm] 13y^2 [/mm] + [mm] 9z^2 [/mm] + 12xy +4xz + 14 yz
= (2x + 3y + [mm] z)^2 [/mm] + [mm] 4y^2 [/mm] + [mm] 8z^2 [/mm] + 8yz
= (2x + 3y [mm] +z)^2 [/mm] + [mm] (2y+2z)^2 [/mm] + [mm] 2z^2
[/mm]
Wie lese ich nun die Signatur ab? Das habe ich in der Vorlesung nicht verstanden.
Zur Basisbestimmung bin ich auch nóch etwas ratlos.
[mm] v^t [/mm] A v = q(v)
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Hallo Lu-,
> Bestimme die Signatur folgender symmetrisch reeller Matrix
> A= [mm]\pmat{ 4 & 6&2 \\ 6 & 13 & 7 \\2&7&9 }[/mm]
> Gib eine Matrix
> S [mm]\in GL_n (\IR)[/mm] an, sodass [mm]S^t[/mm] A S die Gestalt [mm]\pmat{ I_p & 0 &0 \\ 0 & -I_q & 0\\0&0&0 }[/mm]
> hat
> (p,q) heißt die signatur der sym Bilinearform [mm]\beta.[/mm]
> A [mm]\in M_{n \times n}^{sym} (\IR)[/mm] ist die Signatur von
> [mm]\beta_A :\IR^n \times \IR^n[/mm] -> [mm]\IR[/mm]
> [mm]\beta_A[/mm] (v,w) = [mm]v^t[/mm] A w.
>
> [mm]q_{A} \vektor{x \\ y \\z}[/mm] = [mm]\vektor{x & y & z}[/mm] A *
> [mm]\vektor{x \\ y \\z}[/mm] = [mm]4x^2[/mm] + [mm]13y^2[/mm] + [mm]9z^2[/mm] + 12xy +4xz + 14
> yz
> = (2x + 3y + [mm]z)^2[/mm] + [mm]4y^2[/mm] + [mm]8z^2[/mm] + 8yz
> = (2x + 3y [mm]+z)^2[/mm] + [mm](2y+2z)^2[/mm] + [mm]2z^2[/mm]
> Wie lese ich nun die Signatur ab? Das habe ich in der
> Vorlesung nicht verstanden.
>
Nach der quadratischen Ergänzung hast Du die Gestalt
[mm]\summe_{i=1}^{p}x_{i}^{2}-\summe_{j=p+1}^{p+q}x_{j}^{2}[/mm]
erreicht.
Darin ist p die Anzahl der 1en, q die Anzahl der (-1)en.
Und die Signatur ist dann p-q.
> Zur Basisbestimmung bin ich auch nóch etwas ratlos.
> [mm]v^t[/mm] A v = q(v)
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:46 So 24.06.2012 | | Autor: | Lu- |
Hallo,
Okay, naja unsere Definition des Signatur ist "etwas anders" Da wir die zahlen nicht subtrahieren.
sig(A) =( 3,0)
[mm] v^t [/mm] A v = q(v) = [mm] (Tv)^t \pmat{ -1 & 0 &0 \\ 0& -1 &0\\0&0&-1 } [/mm] Tv
Wie fnde ich aber nun T?
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Hallo Lu-,
> Hallo,
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> Okay, naja unsere Definition des Signatur ist "etwas
> anders" Da wir die zahlen nicht subtrahieren.
>
> sig(A) =( 3,0)
>
> [mm]v^t[/mm] A v = q(v) = [mm](Tv)^t \pmat{ -1 & 0 &0 \\ 0& -1 &0\\0&0&-1 }[/mm]
> Tv
>
Auf der Hauptdiagonalen müssen doch 1en stehen.
> Wie fnde ich aber nun T?
>
Das ist bis auf Normierung die Matrix, die entsteht,
wenn Du die Terme, die Du zum Schluss erhältst,
in eine Matrix kleidest.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:13 So 24.06.2012 | | Autor: | Lu- |
hallo
Ja stimmt das müssen 1er sein ;)
> Das ist bis auf Normierung die Matrix, die entsteht,
> wenn Du die Terme, die Du zum Schluss erhältst,
> in eine Matrix kleidest.
>
>
Sry, aber da verstehe ich nur Bahnhof^^
Könntest du mir das vlt nochmals leicht verständlicher erklären?
Was ist den nun der nächste SChritt?
q(v) = $ [mm] (Tv)^t \pmat{ 1 & 0 &0 \\ 0& 1 &0\\0&0&1 } [/mm] $ Tv
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Hallo Lu-,
> hallo
> Ja stimmt das müssen 1er sein ;)
>
> > Das ist bis auf Normierung die Matrix, die entsteht,
> > wenn Du die Terme, die Du zum Schluss erhältst,
> > in eine Matrix kleidest.
> >
> >
> Sry, aber da verstehe ich nur Bahnhof^^
> Könntest du mir das vlt nochmals leicht verständlicher
> erklären?
Als Resultat haben wir doch zunächst
[mm](2x + 3y+z)^2 +(2y+2z)^2+\left(2z\right)^2[/mm]
Setze jetzt
[mm]u=2x+3y+z, \ v=2y+2z, \ w=2z[/mm]
Löse dies jetzt nach x, y und z auf:
[mm]x=\alpha_{1}*u+\beta_{1}*v+\gamma_{1}*w[/mm]
[mm]y=\alpha_{2}*u+\beta_{2}*v+\gamma_{2}*w[/mm]
[mm]z=\alpha_{3}*u+\beta_{3}*v+\gamma_{3}*w[/mm]
Damit ergibt sich die Matrix T zu:
[mm]T=\pmat{\alpha_{1} & \beta_{1} & \gamma_{1} \\ \alpha_{2} & \beta_{2} & \gamma_{2} \\ \alpha_{3} & \beta_{3} & \gamma_{3}}[/mm]
> Was ist den nun der nächste SChritt?
> q(v) = [mm](Tv)^t \pmat{ 1 & 0 &0 \\ 0& 1 &0\\0&0&1 }[/mm] Tv
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:56 So 24.06.2012 | | Autor: | Lu- |
danke ;=)
Liebe grüße
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