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Guten Morgen liebe Heflerinnen und Helfer,
Habe nur eine reine Verständnisfrage bzgl der Signatur einer symmetrischen Bilinearform.
Angenommen die Matrix A ist Darstellungsmatrix meiner Biliniearform und hat folgendes charakteristisches Polynom : [mm] P_{A}(x)=x^3(x+2)(x+3)
[/mm]
Kann ich jetzt die Signatur einfach schon ablesen, sprich mit (p,q,r)=(0,2,3) mit p positiven, q negativen und r=0 EEigenwerte??
Oder muss ich zuerst noch überprüfen ob die algebraische Vielfachheit zum Eigenwert [mm] x_1=0 [/mm] gleich der geometrischen Vielfachheit ist. um damit sagen zu können, dass es eine Matrix g [mm] \in Gl_{n}(\IR) [/mm] , sodass [mm] g*A*g^{-1} [/mm] Diagonalgestalt hat. Dann sind ja dann die Einträge auf der diagonalen genau die Eigenwerte von der Matrix A. und lese ich von dieser dann die Signatur der Bilinearform ab???
Also muss ich , falls mein charakteristisches Polynom nicht in paarweise verschiedene Linearfaktoren zerfällt, erst noch prüfen ob sich meine Matrix überhaupt diagonalisieren lässt, um daraufhin die Signatur bestimmen zu können??Oder Reicht es einfach bzgl. der Signatur die Eigenwerte des charakteristischen Polynoms von A abzulesen, auch wenn die Matrix A beispielsweise NICHT diagonalisierbar????
Wäre prima, wenn mir das jemand beantworten bzw. erklären könnte!!!
Bin ein wenig durcheinander..:-(
Viele Grüße, der mathedepp_No.1
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> Guten Morgen liebe Heflerinnen und Helfer,
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> Habe nur eine reine Verständnisfrage bzgl der Signatur
> einer symmetrischen Bilinearform.
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> Angenommen die Matrix A ist Darstellungsmatrix meiner
> Biliniearform und hat folgendes charakteristisches Polynom
> : [mm]P_{A}(x)=x^3(x+2)(x+3)[/mm]
>
> Kann ich jetzt die Signatur einfach schon ablesen, sprich
> mit (p,q,r)=(0,2,3) mit p positiven, q negativen und r=0
> EEigenwerte??
NEIN
>
> Oder muss ich zuerst noch überprüfen ob die algebraische
> Vielfachheit zum Eigenwert [mm]x_1=0[/mm] gleich der geometrischen
> Vielfachheit ist. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") um damit sagen zu können, dass es eine
> Matrix g [mm]\in Gl_{n}(\IR)[/mm] , sodass [mm]g*A*g^{-1}[/mm]
> Diagonalgestalt hat. Dann sind ja dann die Einträge auf der
> diagonalen genau die Eigenwerte von der Matrix A. und lese
> ich von dieser dann die Signatur der Bilinearform ab??? ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> Also muss ich , falls mein charakteristisches Polynom
> nicht in paarweise verschiedene Linearfaktoren zerfällt,
> erst noch prüfen ob sich meine Matrix überhaupt
> diagonalisieren lässt, um daraufhin die Signatur bestimmen
> zu können??
JA!
Oder Reicht es einfach bzgl. der Signatur die
> Eigenwerte des charakteristischen Polynoms von A abzulesen,
> auch wenn die Matrix A beispielsweise NICHT
> diagonalisierbar???? ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
>
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> Wäre prima, wenn mir das jemand beantworten bzw. erklären
> könnte!!!
>
> Bin ein wenig durcheinander..:-(
>
> Viele Grüße, der mathedepp_No.1
Moin,
der erste Ansatz zu prüfen, ob algebr. VFH=geometr. VFH ist der Richtige
(Tipp: bestimme die Dimension des Eigenraumes zum Eigenwert 0)
Die ist nämlich 3, so dass für die anderen EW nur alg.VFH=geom. VFH=1 bleibt.
Somit hat jeder EW dieselbe algebr.VFH wie geometr. VFH, damit ist A diagonalis. mit den oben von dir erwähnten Einträgen auf der Diag.
Gruß
schachuzipus
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