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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:29 So 26.10.2008 | | Autor: | Sajuri |
| Aufgabe | Es sei X eine nichtleere Menge. Das Teilmengensystem [mm] \mathcal{A}\subseteq\mathcal{P}(X) [/mm] habe die Eigenschaften:
(A1) [mm] X\in\mathcal{A} [/mm]
(A2)Wenn [mm] A\in\mathcal{A} \Rightarrow A^{c} \in \mathcal{A} [/mm]
[mm] (A3^{,})Falls A_{j}\in \mathcal{A} [/mm] für [mm] j\in\IN [/mm] mit [mm] A_{j}\cap A_{k} [/mm] für [mm] j\not=k, [/mm] dann [mm] \bigcup_{j=1}^{\infty}A_{j}\in \mathcal{A}
[/mm]
Zeigen: [mm] \mathcal{A} [/mm] - sigma-Algebra [mm] \gdw [/mm] Falls [mm] A,B\in\mathcal{A}, [/mm] dann [mm] A\cap B\in\mathcal{A} [/mm] |
Hallo,
es wäre super, wenn mir jemand helfen kann. Ich verstehe nicht, was ich genau in [mm] "\Leftarrow" [/mm] zeigen soll.
[mm] "\Rightarrow" [/mm] Sei [mm] \mathcal{A} [/mm] - eine sigma Algebra und A, [mm] B\in \mathcal{A} \Rightarrow A^{c}, B^{c}\in\mathcal{A} [/mm] (nach A2) [mm] \Rightarrow A^{c}\cap B^{c}\in \mathcal{A} \Rightarrow (A^{c}\cap B^{c})^{c}\in \mathcal{A} [/mm] nach (A2) [mm] \Rightarrow A\cap B\in \mathcal{A}.
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:43 Mo 27.10.2008 | | Autor: | Oliveos |
Eine Definition einer Sigma-Algebra ist ja, dass sie folgende Eigentschaften erfüllt:
(B1) [mm]X \in \mathcal{A}[/mm]
(B2) Wenn [mm]A \in \mathcal{A}[/mm], dann [mm]A^C \in \mathcal{A}[/mm]
(B3) Wenn [mm](A_i)_{i \in \IN} \subset \mathcal{A}[/mm], dann [mm]\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i \in \mathcal{A}[/mm]
Die [mm]\Rightarrow[/mm]-Richtung gestaltet sich also ein wenig einfacher:
Seien [mm]A, B \in \mathcal{A}[/mm], dann wegen (B2) auch [mm]A^C, B^C \in \mathcal{A}[/mm]. Nach (B3) ist [mm]A^C \cup B^C \in \mathcal{A}[/mm] und zum Schluss wegen (B2) [mm]A \cap B = (A^C \cup B^C)^C \in \mathcal{A}[/mm].
[mm]\Leftarrow[/mm]: Du musst also (B1)-(B3) zeigen. (B1) und (B2) gelten bereits wegen (A1) und (A2). Muss also nur noch die abzählbare Vereinigung von Mengen aus [mm]\mathcal{A}[/mm] wieder in [mm]\mathcal{A}[/mm] liegen. Bisher wissen wir es nur für abzählbare disjunkte Mengen (A3). Also konstruieren wir uns neue Mengen [mm]B_i[/mm], deren Vereinigung die der [mm]A_i[/mm] ist, aber disjunkt sind:
[mm]B_1 = A_1[/mm]
[mm]B_i = A_i \backslash \bigcup_{j=1}^{i-1} A_j = A_i \cap \left( \bigcup_{j=1}^{i-1} A_j \right)^C[/mm]
[mm]B_i \in \mathcal{A}[/mm], da die endliche Vereinigung von [mm]A_i[/mm]'s wieder in der Sigma-Algebra liegt: [mm]A \cup B = (A^C \cap B^C)^C[/mm].
Also haben wir [mm]\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i = \bigcup_{i=1}^{\infty} B_i \in \mathcal{A}[/mm] (wegen (A3)).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:41 Di 28.10.2008 | | Autor: | Sajuri |
Hallo Oliveos,
Vielen Dank für daine Antwort!
Jetzt ist mir alles klar geworden:)))
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