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Sigma Algebra: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:14 Mo 03.12.2007
Autor: barsch

Aufgabe
Sei [mm] \Omega=\IN. [/mm]

Handelt es sich bei folgenden Mengensystem [mm] \mathcal{A} [/mm] um eine [mm] \sigma-Algebra? [/mm]

[mm] \mathcal{A}=\{\{1,2,...,n\}:n\in\IN_0\}\cup\{\{n,n+1,...\}:n\in\IN\} [/mm]

Hi,

erst einmal ist es ja nicht schlecht, sich bewusst zu machen, was eine [mm] \sigma-Algebra [/mm] kennzeichnet:


[mm] \mathcal{A} [/mm] ist [mm] \sigma-Algebra\gdw [/mm]

1. [mm] \Omega\in\mathcal{A} [/mm]
2. [mm] A\in\mathcal{A}\Rightarrow\overline{A}\in\mathcal{A}, [/mm] wobei [mm] \overline{A} [/mm] Komplement von A.
3. [mm] j\in\IN: A_j\in\mathcal{A}\Rightarrow\cup_{j\in\IN}A_j\in\mathcal{A} [/mm]

Jetzt weiß ich aber schon nicht, ob [mm] \IN=\Omega\in\mathcal{A}. [/mm]

Ich würde behaupten, [mm] \IN=\Omega\in\mathcal{A} [/mm] wegen [mm] \{\{n,n+1,...\}:n\in\IN\} [/mm]

Aber was ist dann mit 2. und 3.?

Vielleicht kann mir mal jemand auf die Sprünge helfen.

MfG barsch

Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.


        
Bezug
Sigma Algebra: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:05 Mo 03.12.2007
Autor: andreas

hi

> Sei [mm]\Omega=\IN.[/mm]
>  
> Handelt es sich bei folgenden Mengensystem [mm]\mathcal{A}[/mm] um
> eine [mm]\sigma-Algebra?[/mm]
>  
> [mm]\mathcal{A}=\{\{1,2,...,n\}:n\in\IN_0\}\cup\{\{n,n+1,...\}:n\in\IN\}[/mm]
>  Hi,
>  
> erst einmal ist es ja nicht schlecht, sich bewusst zu
> machen, was eine [mm]\sigma-Algebra[/mm] kennzeichnet:
>  
>
> [mm]\mathcal{A}[/mm] ist [mm]\sigma-Algebra\gdw[/mm]
>  
> 1. [mm]\Omega\in\mathcal{A}[/mm]
>  2. [mm]A\in\mathcal{A}\Rightarrow\overline{A}\in\mathcal{A},[/mm]
> wobei [mm]\overline{A}[/mm] Komplement von A.
>  3. [mm]j\in\IN: A_j\in\mathcal{A}\Rightarrow\cup_{j\in\IN}A_j\in\mathcal{A}[/mm]
>  
> Jetzt weiß ich aber schon nicht, ob
> [mm]\IN=\Omega\in\mathcal{A}.[/mm]
>  
> Ich würde behaupten, [mm]\IN=\Omega\in\mathcal{A}[/mm] wegen
> [mm]\{\{n,n+1,...\}:n\in\IN\}[/mm]

ja, das stimmt im prinzip schon, muss man aber natürlich etwas genauer aufschreiben (das heißt wähle hier $n = ...$).


> Aber was ist dann mit 2. und 3.?

2. ist auch erfüllt, wie man sich leicht klarmacht. überleg dir mal bei 3., ob die vereinigung von zwei mengen aus [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] auch wieder in [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] liegt. wähle zum beispiel konkret ein $A [mm] \in \{\{1,2,...,n\}:n\in\IN_0\} \subseteq \mathcal{A}$ [/mm] und ein $B [mm] \in \{\{n,n+1,...\}:n\in\IN\} \subseteq \mathcal{A}$. [/mm] gilt dann stets $A [mm] \cup [/mm] B [mm] \in \mathcal{A}$ [/mm] (was wären hier geeignete [verschiedene] $n$'s für $A$ und $B$ - welches $n$ sollte größer sein)?

grüße
andreas

Bezug
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