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| Aufgabe | | Seien [mm] \Omega \subset \IR [/mm] und E= { [mm] A\subset \Omega [/mm] | A endlich }. Zeigen Sie, dass [mm] \sigma(E)= [/mm] { A [mm] \subset \Omega [/mm] | A oder [mm] A^c [/mm] abzählbar } |
Hallo, ich benötige Hilfe bei der Aufgabe und generell beim Verständnis von Sigma-Algebren.
Ich muss 2 Dinge zeigen: Einmal, dass [mm] \sigma(E) [/mm] einen Sigma-Algebra ist und dann muss ich noch zeigen, dass es die kleinste Sigma-Algebra ist, die E enthält.
Abzählbar bedeutet, dass es die gleiche Mächtigkeit hat wie die natürlichen Zahlen hat.
Da die Sigma-Algebra ja E enthält, müssen alle Mengen endlich sein nach Definition.
Zu 1) [mm] \emptyset \in \sigma(E), [/mm] da [mm] \emptyset [/mm] = [mm] \Omega^c [/mm] abzählbar ist
Zu 2) Wenn A in der Sigma-Algebra liegt, dann soll auch das Komplement drinliegen. Folgt ja direkt aus der Definition der menge
Zu 3) Fallunterscheidung. Wenn alle [mm] A_i [/mm] abzählbar sind, dann auch die Vereinigung. Wenn ein j existiert, sd. [mm] A^c_j [/mm] abzählbar ist, aber nicht [mm] A_j [/mm] , so ist [mm] (\bigcup_{j \in \IN}^{} A_j )^c =\bigcap_{j\in\IN}^{}A^c_j [/mm] und damit wieder in der Menge.
Soweit ok meine Gedanken?
Mit freundlichem Gruß
TheBozz-mismo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:30 Di 17.10.2017 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> Seien [mm]\Omega \subset \IR[/mm] und E= { [mm] A\subset \Omega [/mm] | A endlich }. Zeigen Sie...
zum besseren Verständnis: was meint das Wort 'endlich' an dieser Stelle? Wenn die Menge A endlich ist, ist sie ja insbesondere auch abzählbar, insofern kann ich den Sinn der Aufgabe noch nicht so ganz erkennen.
EDIT: das hat sich erledigt, ich habe meinen Denk- bzw. Lesefehler selbst entdeckt.
Gruß, Diophant
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> Seien [mm]\Omega \subset \IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
und E= { [mm]A\subset \Omega[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| A
> endlich }. Zeigen Sie, dass [mm]\sigma(E)=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{ A [mm]\subset \Omega[/mm] |
> A oder [mm]A^c[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
abzählbar }
> Hallo, ich benötige Hilfe bei der Aufgabe und generell
> beim Verständnis von Sigma-Algebren.
> Ich muss 2 Dinge zeigen: Einmal, dass [mm]\sigma(E)[/mm] einen
> Sigma-Algebra ist und dann muss ich noch zeigen, dass es
> die kleinste Sigma-Algebra ist, die E enthält.
> Abzählbar bedeutet, dass es die gleiche Mächtigkeit hat
> wie die natürlichen Zahlen hat.
> Da die Sigma-Algebra ja E enthält, müssen alle Mengen
> endlich sein nach Definition.
> Zu 1) [mm]\emptyset \in \sigma(E),[/mm] da [mm]\emptyset[/mm] = [mm]\Omega^c[/mm]
> abzählbar ist
> Zu 2) Wenn A in der Sigma-Algebra liegt, dann soll auch
> das Komplement drinliegen. Folgt ja direkt aus der
> Definition der menge
> Zu 3) Fallunterscheidung. Wenn alle [mm]A_i[/mm] abzählbar sind,
> dann auch die Vereinigung. Wenn ein j existiert, sd. [mm]A^c_j[/mm]
> abzählbar ist, aber nicht [mm]A_j[/mm] , so ist [mm](\bigcup_{j \in \IN}^{} A_j )^c =\bigcap_{j\in\IN}^{}A^c_j[/mm]
> und damit wieder in der Menge.
>
> Soweit ok meine Gedanken?
Hallo,
1)-3) zeigt, dass das oben definierte [mm]\sigma(E)[/mm] eine [mm]\sigma[/mm]-Algebra ist. Es fehlt die Begründung dafür, dass dies die kleinste [mm]\sigma[/mm]-Algebra ist, die alle endlichen Mengen enthält (folgt daraus, dass sich jede abzählbare Menge als abzählbare Vereinigung endlicher Mengen schreiben lässt).
>
> Mit freundlichem Gruß
>
> TheBozz-mismo
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Super. Danke für das Argument.
Mit freundlichem Gruß
TheBozz-mismo
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