Sigma-Stetigkeit Beweis < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Es sei \Omega eine abzählbare Menge. Eine Funktion $Q:\mathcal{P}\to [0,1]$ heißt Inhaltsfunktion, wenn $Q(\Omega) = 1$ und $Q(A\cup B) = Q(A) + Q(B)$ für alle disjunkten Mengen $A, B\subset \Omega$ gilt. Eine solche Inhaltsfunktion Q heißt \sigma-stetig, falls für Mengen $A_{n}\subset\Omega$ ($n\ge 1$) mit $A_{n}\subset A_{n+1}$ ($n\ge 1$) und $\bigcup_{n=1}^{\infty} = A$ folgt: $\lim_{n\to\infty}Q(A_{n}) = Q(A)$. Man zeige:
1. Ist die Inhaltsfunktion Q \sigma - stetig, so ist Q eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf $(\Omega, \mathcal(\Omega))$.
2. Jede Wahrscheinlichkeitsverteilung \IP auf $(\Omega, \mathcal(\Omega))$ ist \sigma - stetig. |
Hallo!
Ich bin mir unsicher bei meiner Lösung zu 1. (an 2. mag ich noch gar nicht denken  ). Ich schreibe mal, was ich mir dazu gedacht habe, und würde mich über Korrekturen freuen.
----
Damit Q eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ist, muss $Q:\mathcal{P}(\Omega)\to [0,1]$ sein --> ist per Definition von Q erfüllt.
Weiter muss gelten:
- $Q(\Omega) = 1$ --> per Definition erfüllt
- $Q(A) \ge 0$ für alle $A\in\mathcal{P}(\Omega)$ --> Ist wegen Wertebereich = [0,1] doch auch direkt erfüllt, oder?
- $Q\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_{i}\right) = \sum_{i=1}^{\infty}Q(A_{i})$ für disjunkte $A_{i}\in\mathcal{P}(\Omega)$
Diese Aussage zu beweisen, darum geht es ja hauptsächlich. Ich dachte mir, ich weise erst per Induktion nach, dass $Q\left(\bigcup_{i=1}^{n}A_{i}\right) = \sum_{i=1}^{n}Q(A_{i})$ für alle n\in\IN gilt und benutze dann die spezielle Eigenschaft der \sigma-Stetigkeit von Q.
-----
Also:
IA ist klar (Per Definition von Q).
Induktionsschritt:
$Q\left(\bigcup_{i=1}^{n+1}A_{i}\right) = Q\left(\left(\bigcup_{i=1}^{n}A_{i}\right)\cup A_{n+1}\right) \overset{A_{i}\mbox{ paarw. disjunkt}}{=} Q\left(\bigcup_{i=1}^{n}A_{i}\right) + Q(A_{n+1})$
$\overset{IV}{=} \left(\sum_{i=1}^{n}Q(A_{i})\right) + Q(A_{n+1}) = \sum_{i=1}^{n+1}Q(A_{i})\right)$
Damit wäre $Q\left(\bigcup_{i=1}^{n}A_{i}\right) = \sum_{i=1}^{n}Q(A_{i})$ bewiesen.
-----
Nun muss ich noch den Schritt zur Unendlichkeit, d.h. $Q\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_{i}\right) = \sum_{i=1}^{\infty}Q(A_{i}), schaffen. Dazu konstruiere ich eine aufsteigende Mengenfolge:
$A:= \bigcup_{i=1}^{\infty}A_{i}$
$B_{1} := A_{1}$, $B_{2} := A_{1}\cup A_{2}$, ..., $B_{n} = \bigcup_{k=1}^{n}A_{i}$
Es gilt offenbar $B_{n}\subset B_{n+1}$ und $\bigcup_{n=1}^{\infty}B_{n} = \bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcup_{i=1}^{n}A_{i} = \bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n} = A$. (Dieses vorletzte Gleichheitszeichen ist zwar irgendwie klar, aber muss man da nochwas schreiben, weil es ja schon nicht ganz trivial ist???)
Nun ist nach der Definition von Q:
$Q\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_{k}\right) = Q(A) = \lim_{n\to\infty}Q(B_{n}) = \lim_{n\to\infty}Q\left(\bigcup_{k=1}^{n}A_{k}\right)$ (*)
Somit:
$Q\left(\bigcup_{i=1}^{n}A_{i}\right) = \sum_{i=1}^{n}Q(A_{i})$
$\gdw \lim_{n\to\infty}Q\left(\bigcup_{i=1}^{n}A_{i}\right) = \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}Q(A_{i})$
$\overset{(*)}{\gdw} Q\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_{i}\right) = \sum_{i=1}^{\infty}Q(A_{i})$, q.e.d.
Ist das so okay, oder hab ich totalen Murks gemacht, es viel zu kompliziert gemacht oder ... ?
Vielen, vielen Dank für Eure Mühe,
Grüße,
Stefan
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:00 Sa 17.10.2009 | | Autor: | Blech |
Das paßt so wunderbar.
ciao
Stefan
|
|
|
| |
|
Hallo Stefan,
Danke für deine Bestätigung und Korrektur!
Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
Hallo!
> 2. Jede Wahrscheinlichkeitsverteilung [mm]\IP[/mm] auf [mm] $(\Omega, \mathcal(\Omega))$ [/mm] ist [mm] \sigma [/mm] - stetig[/mm]
Ich habe mich nun folgendermaßen an der zweiten Aufgabe versucht:
Wir haben als Voraussetzung dass [mm] \IP [/mm] eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ist, also gilt: [mm] $\IP\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_{i}\right) [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^{\infty}\IP(A_{i})$ [/mm] wenn die [mm] $A_{i}$ [/mm] paarweise disjunkt.
Nun ist zu zeigen: [mm] $A_{n}\subset A_{n+1}$ [/mm] und [mm] $\bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n} [/mm] = A [mm] \Rightarrow \lim_{n\to\infty}\IP(A_{n}) [/mm] = [mm] \IP(A)$.
[/mm]
------
Wir konstruieren paarweise disjunkte Mengen [mm] B_{i} [/mm] so, dass gilt: [mm] $\bigcup_{i=1}^{n}B_{i} [/mm] = [mm] \bigcup_{i=1}^{n}A_{i} [/mm] = [mm] A_{n}$ [/mm] (*) und folglich auch [mm] $\bigcup_{n=1}^{\infty}B_{n} [/mm] = [mm] \bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n} [/mm] = A$ (**):
[mm] $B_{1} [/mm] := [mm] A_{1}$, $B_{2} [/mm] := [mm] A_{2} \textbackslash A_{1}$, $B_{n} [/mm] := [mm] A_{n} \textbackslash \bigcup_{i=1}^{n-1}A_{i}$.
[/mm]
Dann ist:
[mm] $\lim_{n\to\infty}\IP(A_{n}) \overset{(*)}{=} \lim_{n\to\infty}\IP\left(\bigcup_{i=1}^{n}B_{i}\right)$
[/mm]
[mm] $\overset{B_{i} \mbox{paarw. disjunkt, } \IP \mbox{ Wahrscheinl.-Vert.}}{=} \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{n}\IP(B_{i}) [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^{\infty}\IP(B_{i})$
[/mm]
$ [mm] \overset{B_{i} \mbox{paarw. disjunkt, } \IP \mbox{ Wahrscheinl.-Vert.}}{=} \IP\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}B_{i}\right) \overset{(**)}{=} \IP(A)$, [/mm] q.e.d.
Kann man das so machen? Muss man zu der Konstruktion der [mm] B_{i} [/mm] noch mehr sagen?
Vielen Dank für Eure Hilfe,
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:17 Sa 17.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Hallo!
>
> > 2. Jede Wahrscheinlichkeitsverteilung [mm]\IP[/mm] auf [mm](\Omega, \mathcal(\Omega))[/mm]
> > ist [mm]\sigma[/mm] - stetig[/mm]
>
> Ich habe mich nun folgendermaßen an der zweiten Aufgabe
> versucht:
>
> Wir haben als Voraussetzung dass [mm]\IP[/mm] eine
> Wahrscheinlichkeitsverteilung ist, also gilt:
> [mm]\IP\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_{i}\right) = \sum_{i=1}^{\infty}\IP(A_{i})[/mm]
> wenn die [mm]A_{i}[/mm] paarweise disjunkt.
>
> Nun ist zu zeigen: [mm]A_{n}\subset A_{n+1}[/mm] und
> [mm]\bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n} = A \Rightarrow \lim_{n\to\infty}\IP(A_{n}) = \IP(A)[/mm].
>
> ------
>
> Wir konstruieren paarweise disjunkte Mengen [mm]B_{i}[/mm] so, dass
> gilt: [mm]\bigcup_{i=1}^{n}B_{i} = \bigcup_{i=1}^{n}A_{i} = A_{n}[/mm]
> (*) und folglich auch [mm]\bigcup_{n=1}^{\infty}B_{n} = \bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n} = A[/mm]
> (**):
>
> [mm]B_{1} := A_{1}[/mm], [mm]B_{2} := A_{2} \textbackslash A_{1}[/mm], [mm]B_{n} := A_{n} \textbackslash \bigcup_{i=1}^{n-1}A_{i}[/mm].
Bedenke, dass [mm] $\bigcup_{i=1}^{n-1} A_i [/mm] = [mm] A_{n-1}$ [/mm] ist. Dann sparst du dir etwas Schreibarbeit.
> Dann ist:
>
> [mm]\lim_{n\to\infty}\IP(A_{n}) \overset{(*)}{=} \lim_{n\to\infty}\IP\left(\bigcup_{i=1}^{n}B_{i}\right)[/mm]
>
> [mm]\overset{B_{i} \mbox{paarw. disjunkt, } \IP \mbox{ Wahrscheinl.-Vert.}}{=} \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{n}\IP(B_{i}) = \sum_{i=1}^{\infty}\IP(B_{i})[/mm]
>
> [mm]\overset{B_{i} \mbox{paarw. disjunkt, } \IP \mbox{ Wahrscheinl.-Vert.}}{=} \IP\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}B_{i}\right) \overset{(**)}{=} \IP(A)[/mm],
> q.e.d.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Kann man das so machen? Muss man zu der Konstruktion der
> [mm]B_{i}[/mm] noch mehr sagen?
Ich denke, das ist ok so.
LG Felix
|
|
|
| |
|
Ok,
vielen Dank für die Tipps und die Korrektur :-9
Grüße,
Stefan
|
|
|
|
