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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:54 Mi 16.03.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo nochmal!
Hab hier vorhin in einem Skript gelesen, dass die kleinste [mm] \sigma\mbox{-Algebra} [/mm] die Menge [mm] \{\{\},\Omega\} [/mm] ist (das wusste ich auch schon vorher...), die zweitkleinste die Menge [mm] \{\{\},A,A^{C},\Omega\} [/mm] und nun bin ich auf der Suche nach der drittkleinsten.
[mm] \{\{\},A,A^{C},B,B^{C},A\cup B,\Omega\} [/mm] - reicht das schon?
Im Prinzip müssen ja die folgenden Mengen auch alle darin enthalten sein:
[mm] (A\cup B)^{C}, B^{C}\cup A^{C}, (A^{C}\cup [/mm] B) und [mm] B^{C}\cup [/mm] A.
Frage ist nur, ob die nicht durch die Elemente von da oben darstellbar sind, so dass sie sowieso schon drin sind und ich sie nicht explizit aufschreiben muss. Bisher habe ich aber noch keine Darstellungsmöglichkeit gefunden - aber sollte die nächstgrößere [mm] \sigma\mbox{-Algebra} [/mm] wirklich soo groß sein?
Vielleicht kann mir ja jemand helfen. 
Und dann habe ich hier noch ne andere Aufgabe gefunden:
Finden Sie eine [mm] \sigma\mbox{-Algebra} [/mm] auf der Menge M={1,2 ,3,4} , die von P(M) und {∅,M }
verschieden ist.
Ich habe nun überlegt, dass das doch z. B. die Menge [mm] \{\{\},M,\{1\}, \{2,3,4\}\} [/mm] sein kann, oder? Und halt jede beliebige Menge, wo die leere Menge und die Menge M selbst drin vorkommen und eine der Zahlen alleine und die anderen drei als Menge zusammen. Oder ich könnte doch auch schreiben: [mm] \{\{\},M,\{1,2\}, \{3,4\}\}, [/mm] oder?
Ich hoffe, ich habe hier jetzt nichts übersehen - dann wäre das nämlich wahrscheinlich falsch...
viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:16 Do 17.03.2005 | | Autor: | Kathka |
"Und dann habe ich hier noch ne andere Aufgabe gefunden:
Finden Sie eine $ [mm] \sigma\mbox{-Algebra} [/mm] $ auf der Menge M={1,2 ,3,4} , die von P(M) und {∅,M }
verschieden ist."
Also bezüglich dessen sind deine Überlegungen richtig.
Zu der 3. kleinsten $ [mm] \sigma\mbox{-Algebra} [/mm] $ schlage ich vor, dass du das mal an deiner Beispielmenge M testest.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:11 Do 17.03.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
Die drittkleinste [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] muss [mm] $2^3=8$ [/mm] Elemente enthalten, daher kann deine Lösung gar nicht richtig sein.
Was hast du vergessen? Genau, die Menge $A [mm] \cap [/mm] B$.
Wir haben also (für $A [mm] \ne [/mm] B$, [mm] $A\cup [/mm] B [mm] \ne \Omega$:
[/mm]
[mm] ${\cal A}_3 [/mm] = [mm] \{\emptyset, A, B, A \cap B, A \setminus (A \cap B), B \setminus (A \cap B), A \cup B, \Omega\}$.
[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
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