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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:55 Mi 09.03.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
> Hab hier unter der Definition einer [mm]\sigma[/mm] -Algebra
> folgende Bemerkung stehen:
>
> Mit [mm]B_n, n\in\IN,[/mm] sind [mm]\bigcap_{n}B_n=C(\bigcup_{n}CB_n)[/mm]
> ebenso [mm]\bigcup_{n}\bigcap_{k\ge n}B_k[/mm] messbar.
> (mit C meine ich jetzt mal das Komplement - wir hatten da
> so ein komisches C geschrieben...)
> Das erste ist ja noch klar, aber warum steht denn bei dem
> zweiten unter dem Schnitt [mm]k\ge[/mm] n? Könnte man da nicht auch
> über alle k gehen? Vielleicht kann mir jemand ein Beispiel
> geben, an dem ich das erkennen kann, warum das so und nicht
> anders sein muss?
In [mm]\bigcup_{n}\bigcap_{k\ge n}B_k[/mm] liegen genau die Elemente, die in fast allen [mm] $B_n$ [/mm] liegen, also in allen bis auf endlich viele.
Man nennt dies den Limes inferior der Mengenfolge.
Beispiel:
Sei [mm] $B_n=\{x \in \IR^{\infty} \, : \, x_n=0\}$.
[/mm]
Dann liegen in [mm]\bigcup_{n}\bigcap_{k\ge n}B_k[/mm] alle Folgen, deren Folgenglieder ab einem gewissen Index verschwinden.
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:12 Mi 09.03.2005 | | Autor: | Bastiane |
Lieber Stefan!
Danke für die schnelle Antwort - aber leider verstehe ich das immer noch nicht so ganz...
> Beispiel:
>
> Sei [mm]B_n=\{x \in \IR^{\infty} \, : \, x_n=0\}[/mm].
>
> Dann liegen in [mm]\bigcup_{n}\bigcap_{k\ge n}B_k[/mm] alle Folgen,
> deren Folgenglieder ab einem gewissen Index verschwinden.
Fangen wir doch mal an bei k=1:
Dann wäre doch: [mm] B_1=\{x\in\IR^{\infty}\, :\,x_1=0\}, [/mm] also die erste Komponente ist =0
für k=2 wäre es doch: [mm] B_2=\{x\in\IR^{\infty}\, :\,x_2=0\}, [/mm] hier ist die zweite Komponente =0
usw.
Aber wie schneide und vereinige ich das Ganze dann? Ob du mir das auch noch zeigen könntest?
Viele Grüße
Christiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:28 Mi 09.03.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
Ja, klar (auch wenn mir das keine Sternwertung einbringt ![[motz]](/images/smileys/motz.gif "[motz]")  ). Ich will doch die 1000... ![[wein]](/images/smileys/wein.gif "[wein]")
> Fangen wir doch mal an bei k=1:
> Dann wäre doch: [mm]B_1=\{x\in\IR^{\infty}\, :\,x_1=0\},[/mm] also
> die erste Komponente ist =0
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> für k=2 wäre es doch: [mm]B_2=\{x\in\IR^{\infty}\, :\,x_2=0\},[/mm]
> hier ist die zweite Komponente =0
Dann wäre
[mm] $B_1 \cap B_2 [/mm] = [mm] \{x \in \IR^{\infty} \, : \, x_1=0 \quad \mbox{und} \quad x_2=0\}$.
[/mm]
Somit:
[mm] $\bigcup_{n \in \IN} \bigcap_{k \ge n} B_k =\bigcup_{n \in \IN} \{x \in \IR^{\infty} \, : \, x_k=0 \quad \mbox{für alle} \quad k \ge n\}$.
[/mm]
Wenn jetzt $x [mm] \in \bigcup_{n \in \IN} \bigcap_{k \ge n} B_k$ [/mm] gilt, dann muss es ja ein $n [mm] \in \IN$ [/mm] geben, so dass $x$ in [mm] $\bigcap_{k \ge n} B_k$ [/mm] liegt.
Es muss also ein $n [mm] \in \IN$ [/mm] geben, so dass
[mm] $x_k=0$ [/mm] gilt für alle $k [mm] \ge [/mm] n$.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:12 Mi 09.03.2005 | | Autor: | Bastiane |
Lieber Stefan!
Danke nochmal für die Antwort, auch wenn du dafür kein Sternchen bekommst... Aber ich kann ja nachher noch mehr Fragen stellen.
> Somit:
>
> [mm]\bigcup_{n \in \IN} \bigcap_{k \ge n} B_k =\bigcup_{n \in \IN} \{x \in \IR^{\infty} \, : \, x_k=0 \quad \mbox{für alle} \quad k \ge n\}[/mm].
>
>
> Wenn jetzt [mm]x \in \bigcup_{n \in \IN} \bigcap_{k \ge n} B_k[/mm]
> gilt, dann muss es ja ein [mm]n \in \IN[/mm] geben, so dass [mm]x[/mm] in
> [mm]\bigcap_{k \ge n} B_k[/mm] liegt.
>
> Es muss also ein [mm]n \in \IN[/mm] geben, so dass
>
> [mm]x_k=0[/mm] gilt für alle [mm]k \ge n[/mm].
Okay, die einzelnen Schritte konnte ich jetzt nachvollziehen. Jetzt habe ich mich nur gefragt, was das denn mit der [mm] \sigma [/mm] -Algebra zu tun hat. Wenn ich schreiben würde:
[mm] \bigcup_{n}\bigcap_{n}B_n [/mm] würde das Sinn machen? Oder ich glaub, ich meine eher: [mm] \bigcup_{n}\bigcap_{k=1}^{n}B_k [/mm] - gibt's das?
Wenn ja, was hat das denn jetzt damit zu tun, dass [mm] \bigcup_{n}\bigcap_{k\ge n}B_k [/mm] messbar ist und warum nicht [mm] \bigcup_{n}\bigcap_{k=1}^{n}B_k?
[/mm]
Sorry, wenn ich das immer noch nicht verstanden habe. Wenn's zu kompliziert werden sollte, dann lass es ruhig, oder ist das soooo wichtig?
Viele Grüße
Christiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:32 Mi 09.03.2005 | | Autor: | Bastiane |
Okay, nun noch eine letzte Mitteilung: 
> Brauchst du jetzt nicht mehr. Ich lasse die 1000 von Stefan
> jetzt erst einmal eine Weile stehen.
Also, ich sehe da immer noch nur 999, aber das ist doch auch eine schöne Zahl! Läuft dann jetzt bald wieder dein zweites Ich hier rum? *g*
> > [mm]\bigcup_{n}\bigcap_{n}B_n[/mm] würde das Sinn machen?
>
> Nein.
Dachte ich's mir doch!
> > Oder ich
> > glaub, ich meine eher: [mm]\bigcup_{n}\bigcap_{k=1}^{n}B_k[/mm] -
>
> > gibt's das?
>
> Ja, das ist gleich [mm]B_1[/mm]. (denn die Schnittmengen [mm]B_1 \supset B_1 \cap B_2 \supset B_1 \cap B_2 \cap B_3 \supset \ldots[/mm]
> liegen ja alle ineinander und die Vereinigung ist die
> größte Teilmenge dieser Mengen, also [mm]B_1[/mm].)
>
> > Wenn ja, was hat das denn jetzt damit zu tun, dass
> > [mm]\bigcup_{n}\bigcap_{k\ge n}B_k[/mm] messbar ist und warum
> nicht
> > [mm]\bigcup_{n}\bigcap_{k=1}^{n}B_k?
[/mm]
>
> Beides ist messbar, es war nur ein Beispiel.
Ah - ja. Gut, kein Wunder, wenn es gleich [mm] B_1 [/mm] ist... Danke, jetzt bin ich beruhigt und konnte endlich mein Fragezeichen, das schon einige Monate in den Unterlagen gestanden haben muss, beantworten.
Viele Grüße
Christiane
![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]") ![[breakdance]](/images/smileys/breakdance.gif "[breakdance]")
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