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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:39 Sa 03.05.2014 | | Autor: | HugATree |
| Aufgabe | Sei [mm] $T\subset\mathbb{R}$ [/mm] ein Intervall. Zu [mm] $t\in [/mm] T$ sei [mm] ${\prod}_t:\mathbb{R}^T \to \mathbb{R} [/mm] , [mm] f\mapsto [/mm] f(t) $. Sei [mm] $$\mathcal{B}(\mathbb{R})^T:=\bigotimes_{t\in T}\mathcal{B}(\mathbb{R}):=\sigma\left({\prod}_t^{-1}(B):t\in T, B\in\mathcal{B}(\mathbb{R})\right)$$
[/mm]
Zu [mm] $\mu [/mm] >0$ sei [mm] $B_\mu:=\{f\in\mathbb{R}^T:\forall t\in T : |f(t)|\leq\mu\}$.
[/mm]
(i) Begründe formal, ohne Beweis, warum [mm] $B_\mu\notin\mathcal{B}(\mathbb{R})^T$ [/mm] gilt.
(ii) Zeige, dass [mm] $B_\mu\cap C(T,\mathbb{R})\in \mathcal{B}(\mathbb{R})^T\cap C(T,\mathbb{R})$ [/mm] |
Guten Abend,
ich hänge gerade an dieser Aufgabe.
Ich komme irgendwie nicht zurecht. [mm] ${\prod}_t$ [/mm] ist ja die Einsetzabbildung.
Und habe ich das richtig verstanden, dass [mm] $\mathcal{B}(\mathbb{R})^T$ [/mm] erzeugt wird von allen Funktionen [mm] $f\in\mathbb{R}^T$ [/mm] erzeugt wird, die jedes [mm] $t\in [/mm] T$ in eine borel-messbare Menge [mm] $B\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$, [/mm] also [mm] $f(t)\in B\quad \forall t\in [/mm] T$ gilt?
Ich weiß jedoch nicht richtig wie das angehen soll.
Für (i) dachte ich mir, dass man [mm] $B_\mu$ [/mm] evtl für besonders große oder besonders kleine [mm] $\mu$ [/mm] betrachten soll, konnte daraus aber leider nichts schließen...
Ich würde mich sehr über Denkanstöße freuen!
Vielen Dank
Liebe Grüße
HugATree
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:55 So 04.05.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo HugATree!
> Sei [mm]$T\subset\mathbb{R}$[/mm] ein Intervall. Zu [mm]$t\in[/mm] T$ sei
> [mm]${\prod}_t:\mathbb{R}^T \to \mathbb{R}[/mm] , [mm]f\mapsto[/mm] f(t) $.
> Sei [mm]\mathcal{B}(\mathbb{R})^T:=\bigotimes_{t\in T}\mathcal{B}(\mathbb{R}):=\sigma\left({\prod}_t^{-1}(B):t\in T, B\in\mathcal{B}(\mathbb{R})\right)[/mm]
>
> Zu [mm]\mu >0[/mm] sei [mm]B_\mu:=\{f\in\mathbb{R}^T:\forall t\in T : |f(t)|\leq\mu\}[/mm].
>
> (i) Begründe formal, ohne Beweis, warum
> [mm]B_\mu\notin\mathcal{B}(\mathbb{R})^T[/mm] gilt.
> (ii) Zeige, dass [mm]B_\mu\cap C(T,\mathbb{R})\in \mathcal{B}(\mathbb{R})^T\cap C(T,\mathbb{R})[/mm]
> [mm]{\prod}_t[/mm] ist ja die
> Einsetzabbildung.
Ja.
> Und habe ich das richtig verstanden, dass
> [mm]\mathcal{B}(\mathbb{R})^T[/mm] erzeugt wird von allen Funktionen
> [mm]f\in\mathbb{R}^T[/mm] erzeugt wird, die jedes [mm]t\in T[/mm] in eine
> borel-messbare Menge [mm]B\in\mathcal{B}(\mathbb{R})[/mm], also
> [mm]f(t)\in B\quad \forall t\in T[/mm] gilt?
Nein. [mm] $\mathcal{B}(\IR)^T$ [/mm] ist eine Sigma-Algebra auf [mm] $\IR^T$, [/mm] also insbesondere ein Menge von Teilmengen von [mm] $\IR^T$. $\mathcal{B}(\IR)^T$ [/mm] kann von einer Menge von Teilmengen von [mm] $\IR^T$ [/mm] erzeugt werden, nicht von Elementen von [mm] $\IR^T$.
[/mm]
Es gilt [mm] $\Pi_t^{-1}(B)=\{f\colon T\to\IR\;|\;f(t)\in B\}$ [/mm] für jedes [mm] $t\in [/mm] T$ und jedes [mm] $B\in\mathcal{B}(\IR)$. $\Pi_t^{-1}(B)$ [/mm] enthält also alle Funktionen [mm] $f\colon T\to\IR$, [/mm] die $t$ auf ein Element der Menge $B$ abbilden und ansonsten beliebig aussehen.
> Ich weiß jedoch nicht richtig wie das angehen soll.
> Für (i) dachte ich mir, dass man [mm]B_\mu[/mm] evtl für
> besonders große oder besonders kleine [mm]\mu[/mm] betrachten soll,
> konnte daraus aber leider nichts schließen...
Diese Idee scheint mir leider nicht zum Erfolg zu führen. Zu zeigen ist (i) ja auch für beliebiges [mm] $\mu$, [/mm] nicht nur für spezielles.
> Ich würde mich sehr über Denkanstöße freuen!
Zu (ii):
Betrachte die Fälle [mm] $T=\emptyset$ [/mm] und $T$ einelementig separat.
Enthalte nun $T$ mindestens zwei (und somit schon überabzählbar viele) Elemente.
Überlege dir:
1. [mm] $B_\mu\cap C(T,\IR)=\underbrace{\{f\colon T\to\IR\;|\;\forall t\in T\cap\IQ\colon|f(t)|\le\mu\}}_{=:B_\mu'}\cap C(T,\IR)$
[/mm]
2. [mm] $B_\mu'\in\mathcal{B}(\IR)^T$.
[/mm]
Zu (i):
Die Aussage ist für [mm] $T=\emptyset$ [/mm] und $T$ einelementig falsch!
Ich setze daher nun voraus, dass $T$ mindestens zwei (und somit überabzählbar viele) Elemente enthält.
Mir ist unklar, wie man etwas formal begründen kann, ohne es zu beweisen. Daher skizziere ich nun einen Beweis.
Sei [mm] $t^\*\in [/mm] T$ und [mm] $B\subseteq\IR^T$. [/mm] Für die Zwecke des Beweises möchte ich [mm] $t^\*$ [/mm] "irrelevant" für $B$ nennen, falls $B$ abgeschlossen unter Abänderung an der Stelle [mm] $t^\*$ [/mm] ist, d.h. falls für alle [mm] $f\in [/mm] B$ und alle [mm] $y\in\IR$ [/mm] gilt: Die Funktion
[mm] $\widetilde{f}\colon T\to\IR,\quad \widetilde{f}(t):=\begin{cases}f(t),&\text{falls }t\not=t^\*\\y,&\text{falls }t=t^\*\end{cases}$
[/mm]
erfüllt [mm] $\widetilde{f}\in [/mm] B$.
Sei
[mm] $\mathcal{C}:=\{B\subseteq\IR^T\;|\;\exists T_0\subseteq T\text{ abzählbar}\colon\forall t^\*\in T\setminus T_0\colon t^\*\text{ irrelevant für }B\}$.
[/mm]
Zeige nun:
3. Kein [mm] $t\in [/mm] T$ ist irrelevant für [mm] $B_\mu$.
[/mm]
4. [mm] $B_\mu\notin\mathcal{C}$.
[/mm]
(Benutze dazu 3. und die Überabzählbarkeit von $T$.)
5. [mm] $\mathcal{C}$ [/mm] ist eine Sigma-Algebra auf [mm] $\IR^T$.
[/mm]
6. [mm] $\mathcal{B}(\IR)^T\subseteq\mathcal{C}$
[/mm]
(Benutze dazu 5.)
Aus 4. und 6. folgt dann wie gewünscht [mm] $B_\mu\notin\mathcal{B}(\IR)^T$.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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