Sigma-Algebra Vereinigung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:56 Di 09.11.2010 | | Autor: | LuisA44 |
| Aufgabe | Gegeben sei eine sigma-Algebra F.
Zeigen Sie. dass diese abgeschlossen ist unter endlichen Vereinigung. |
Hallo,
also ich habe mal versucht die Aufgabe zu beweisen. Man soll es wohl per Induktion beweisen nur ich bin mir ein bischen unsicher im Umgang mit der Vereinigung im Induktionsbeweis nunja:
Beh: [mm] \bigcup_{i=1}^{n}A_k \in [/mm] F
IA: n=1
[mm] \bigcup_{i=1}^{1}A_k= A_1 \in [/mm] F
IV:
[mm] \bigcup_{i=1}^{n}A_k \in [/mm] F
IS:
[mm] \bigcup_{i=1}^{n+1}= \bigcup_{i=1}^{n}A_k \cup A_n_+_1
[/mm]
Kann man jetzt einfach sagen, dass
[mm] \bigcup_{i=1}^{n}A_k \in [/mm] F und [mm] A_n_+_1 \in [/mm] F
und deshalb ( [mm] \bigcup_{i=1}^{n}A_k \cup A_n_+_1) \in [/mm] F ?
Über eine Antwort würde ich mich sehr freuen.
Grüße
LuisA44
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:04 Di 09.11.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Mit Induktion geht es so nicht. Dann müsstest du ja dort am Ende voraussetzen, dass die Vereinigung von 2 Mengen noch in der [mm] \sigma-Algebra [/mm] liegt, aber das ist ja wiederum das, was du erst zeigen müsstest.
Betrachte einfach mal die Folge [mm] (A_n)_{n\in\IN}\in \mathcal{F}, [/mm] sodass [mm] A_n=\emptyset [/mm] , [mm] \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N gilt.
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