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| Aufgabe | Es sei $ f: M [mm] \to [/mm] N $ eine Menge und [mm] \mathcal{B} \subset \mathcal{P}(N) [/mm] eine [mm] \sigma-Algebra [/mm] auf N. Zeigen Sie, dass
[mm] $\{f^{-1} (b); B \in \mathcal{B}\} [/mm] $ eine [mm] \sigma-Algebra [/mm] auf M definiert. |
Hallo zusammen,
also zu der Aufgabe oben:
Ich muss ja zeigen, dass F := [mm] ${f^{-1} (b); B \in \mathcal{B} } [/mm] $ folgende Bedingungen erfüllt:
1. M [mm] \in [/mm] F
2. B [mm] \in [/mm] F [mm] \Rightarrow B^{c} \in [/mm] F
3. [mm] B_{k} \in [/mm] F [mm] \forall [/mm] k [mm] \in \IN \Rightarrow \bigcup_{k \in \IN} B_{k} \in [/mm] F
richtig?
habe mir folgendes gedacht:
zu 1. N [mm] \in \mathcal{B} [/mm] nach Voraussetzung
und daraus folgt [mm] f^{-1} [/mm] (N) [mm] \in [/mm] F und [mm] f^{-1} [/mm] (N) = M
d.h. M [mm] \in [/mm] F
sind meine Gedanken dort richtig?
zu 2. habe ich einen Tipp bekommen, dass ich damit arbeiten kann, dass
[mm] M\backslash f^{-1} [/mm] (B) = [mm] f^{-1} [/mm] (N [mm] \backslash [/mm] B) für beliebige B [mm] \subseteq [/mm] N
ist das schon alles was ich brauche weil$ [mm] f^{-1} [/mm] (N [mm] \backslash [/mm] B) = [mm] B^{c} [/mm] $ ist? mich verwirrt etwas, dass ich B aus N nehme, wo ich doch zeigen soll, dass [mm] f^{-1} [/mm] eine [mm] \sigma-Algebra [/mm] auf M ist?
Das gleiche Problem habe ich eigentlich bei der 3, denn da kannich ja sagen:
[mm] \bigcup_{k \in \IN} f^{-1} (B_{k}) [/mm] = [mm] f^{-1} (\bigcup_{k \in \IN} B_{k})
[/mm]
für beliebige [mm] B_{k} \subseteq [/mm] N
...wenn das so funktioniert müsste ich sonst doch eigentlich fertig sein oder?
Danke für jede Hilfe,
lieben Gruß
cmueller
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:20 Fr 22.10.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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