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| Aufgabe | Wir betrachten den Sierpinski-Raum [mm] (X,\underline{X}) [/mm] mit [mm] X=\{0,1\} [/mm] und [mm] \underline{X}=\{\emptyset,{0},X\}. [/mm] Die offenen Umgebungen von 0 sind [mm] \underline{O}=\{\{0\},X\}. [/mm] Weitere Umgebungen von 0 gibt es nicht.
1.Als Basis ist bereits [mm] \{\{0\}\} [/mm] ausreichend.
2. Die einzige geschlossene Umgebung von 0 ist in diesem Siepinski-Raum ist X selbst. Die abgeschlossene Umgebungen [mm] \underline{A}=\{X\} [/mm] sind folglich keine Umgebungsbasis von 0. |
Hallo zusammen!
ich verstehe da was noch nicht, wäre super, wenn mir jemand helfen könnte.
1. hab ich verstanden, die Umgebungsbasis [mm] \underline{V}=\{\{0\}\} [/mm] ist Teilmenge der einzigen noch offenen Umgebung U=X.
2. Das verstehe ich nicht. Kann der Punkt x=0 nicht abgeschlossen sein ? Sodass es wie in 1. ist.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:43 Mo 24.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> Wir betrachten den Sierpinski-Raum [mm](X,\underline{X})[/mm] mit
> [mm]X=\{0,1\}[/mm] und [mm]\underline{X}=\{\emptyset,{0},X\}.[/mm]
Besser: [mm]\underline{X}=\{ \emptyset,\{0\},X\}.[/mm]
> Die
> offenen Umgebungen von 0 sind [mm]\underline{O}=\{\{0\},X\}.[/mm]
> Weitere Umgebungen von 0 gibt es nicht.
> 1.Als Basis ist bereits [mm]\{\{0\}\}[/mm] ausreichend.
> 2. Die einzige geschlossene Umgebung von 0 ist in diesem
> Siepinski-Raum ist X selbst. Die abgeschlossene Umgebungen
> [mm]\underline{A}=\{X\}[/mm] sind folglich keine Umgebungsbasis von
> 0.
> Hallo zusammen!
> ich verstehe da was noch nicht, wäre super, wenn mir
> jemand helfen könnte.
> 1. hab ich verstanden, die Umgebungsbasis
> [mm]\underline{V}=\{\{0\}\}[/mm] ist Teilmenge der einzigen noch
> offenen Umgebung U=X.
Was ist los ? ? Diesen Satz verstehe ich nicht !
Die einzigen offenen Mengen, die 0 enthalten, sind [mm] \{0\} [/mm] und X. Damit gibt es nur 2 Umgebungen von 0:
[mm] \{0\} [/mm] und X.
Eine Umgebungsbasis von 0 ist [mm] \{\{0\}\}
[/mm]
> 2. Das verstehe ich nicht. Kann der Punkt x=0 nicht
> abgeschlossen sein ?
Du meinst also [mm] \{0\} [/mm] wäre abgeschlossen ? Wenn das der Fall wäre, so wäre $X [mm] \setminus \{0\} [/mm] = [mm] \{1\}$ [/mm] offen. Ist das der Fall ?
FRED
> Sodass es wie in 1. ist.
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