Short Rate < Finanzmathematik < Finanz+Versicherung < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 06:41 Di 19.04.2005 | | Autor: | felixx |
Hallo,
kann mir jemand den Zusammenhang zwischen momentane Zinsen (Short Rates) und momentane Zinsen für z.B. 1 Monat Laufzeit geben?
Mit anderen Worten möchte ich mir den momentanen Zinssatz für eine beliebige Laufzeit errechnen, wenn ich nur in der Kenntnis der "Short Rate" bin.
Weiters kann mir jemand einen Link zum Thema:
"Heath Jarrow Morton Modelle im Überblick" geben
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:08 Di 19.04.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Felix!
Ich hatte dir ja schon geschrieben, dass es sich um einen affin-linearen Zusammenhang handelt, den ich jetzt noch einmal etwas präzisieren möchte.
Das Vasicek-Modell für die Short Rate sei wie folgt gegeben:
$dr(t) = [mm] k[\theta [/mm] - [mm] r(t)]\, [/mm] dt + [mm] \sigma\, [/mm] dW(t)$,
[mm] $r(0)=r_0$.
[/mm]
Dann erhält man für die Bondpreise (zum Zeitpunkt $t$ mit Fälligkeit $T$):
$p(t,T) = A(t,T) [mm] e^{-B(t,T)r(t)}$,
[/mm]
wobei
$A(t,T)= [mm] \exp\left\{ \left(\theta - \frac{\sigma^2}{2k^2}\right) [B(t,T) - T+t] - \frac{\sigma^2}{4k} B(t,T)^2 \right\}$,
[/mm]
$B(t,T) = [mm] \frac{1}{k} \left[ 1 - e^{-k(T-t)} \right]$.
[/mm]
Wegen
$R(t,T) = - [mm] \frac{\log p(t,T)}{T-t}$
[/mm]
(denn $p(t,T) = [mm] e^{-R(t,T) \cdot (T-t)}$)
[/mm]
erhält man also für die Spot Rate zum Zeitpunkt $t$ mit Fälligkeit in $T$:
$R(t,T) - [mm] \frac{\log A(t,T)}{T-t} [/mm] + [mm] \frac{B(t,T)r(t)}{T-t}$.
[/mm]
Jetzt noch ein Link zu Heath-Jarrow-Morton-Modellen:
![[]](/images/popup.gif) http://www.sam.sdu.dk/~cmu/noter/FIAjan05.pdf
(Eigentlich ab Seite 229 in der skriptinternen Zählung, aber ich würde an deiner Stelle auch die Kapitel vorher lesen, am besten sogar das ganze (hervorragende!) Skript.)
Viele Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:07 Do 21.04.2005 | | Autor: | felixx |
Hallo,
eines ist mir noch nicht ganz klar, u.z. mit dem Vasicek Modell berechne ich die Short Rates vom Zeitintervall [0,T]. Sind diese also die stetigen (momentanen) Zinsen r(T) für die Zukunft?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:56 Do 21.04.2005 | | Autor: | Stefan |
Lieber Felix!
Das ist richtig: $r(T)$ ist die Short Rate (momentane Zinsrate) zum Zeitpunkt $T$. Man kennt diese zum Zeitpunkt $t=0$ nicht, daher ist sie zum Zeitpunkt $t=0$ stochastisch.
Was ich aber kenne zum Zeitpunkt $t=0$ ist die Spot Rate $R(0,T)$ für einen Bond mit Fälligkeit $T$. Was man nicht kennt (aber aus der stochastischen Simulaltion der Short Rate $r(t)$ mit der genannten affin-linearen Formel ableiten kann), ist die Spot Rate $R(t,T)$ für einen Bond zum Zeitpunkt $t>0$ mit Fälligkeit $T$.
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
|
