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| Aufgabe | Sei [mm] 1\le p<\infty. [/mm] Man betrachte die Shiftoperatoren [mm] L,R:l_p->l_p [/mm] mit [mm] K=\IC [/mm] und sind definiert durch [mm] L((x_1,x_2,...))=(x_2,x_3,...) [/mm] und [mm] R((x_1,x_2,...))=(0,x_1,x_2,...) [/mm]
Zeige, dass L,R stetig sind und berechne jeweils die Operatornorm. |
Hallo
Irgendwie hab ich noch nicht den Durchblick bei Funktionalanalysis mit den ganzen Normen usw.
Zeige zuerst, dass L,R beschränkt sind(hier äquivalent zu stetig)
R beschränkt [mm] <=>\exists [/mm] a>0 [mm] \forall x\in l_p: \parallel [/mm] Rx [mm] \parallel_p \le a\parallel [/mm] x [mm] \parallel_p
[/mm]
[mm] <=>(|0|^p+|x_1|^p+|x_2|^p+...)^{\bruch{1}{p}}=(|x_1|^p+|x_2|^p+...)^{\bruch{1}{p}} \le a*(|x_1|^p+|x_2|^p+...)^{\bruch{1}{p}} [/mm] zum Beispiel für a=10
Für L bekommt man [mm] (|x_2|^p+|x_3|^p+...)^{\bruch{1}{p}} \le a*(|x_1|^p+|x_2|^p+...)^{\bruch{1}{p}} [/mm] und das gilt für a=1
Nun zur Operatornorm:
[mm] \parallel R\parallel =\sup_{\parallel x\parallel_p \le 1}\parallel Rx\parallel_p=\sup_{\parallel x\parallel_p \le 1}(|x_1|^p+|x_2|^p+...)^{\bruch{1}{p}}=1
[/mm]
[mm] \parallel L\parallel =\sup_{\parallel x\parallel_p \le 1}\parallel Lx\parallel_p=\sup_{\parallel x\parallel_p \le 1}(|x_2|^p+|x_3|^p+...)^{\bruch{1}{p}}
[/mm]
Jetzt vielleicht eine künstliche Null einfügen
[mm] =>\sup_{\parallel x\parallel_p \le 1}(-|x_1|^p+|x_1|^p+|x_2|^p+...)^{\bruch{1}{p}}
[/mm]
Jetzt Minkowski-Ungleichung
[mm] \le -|x_1|+\parallel x\parallel_p \le -|x_1|+1 [/mm] und jetzt?
Ich hoffe, mir kann jemand helfen.
Vielen Dank für jede Hilfe
Gruß
TheBozz-mismo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:14 Mi 16.05.2012 | | Autor: | fred97 |
Was machst Du da ?
Man sieht doch auf einen Blick, dass gilt:
||L(x)|| [mm] \le [/mm] ||x|| und ||R(x)||=||x|| für alle x [mm] \in l_p.
[/mm]
FRED
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Hallo!
> Was machst Du da ?
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> Man sieht doch auf einen Blick, dass gilt:
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> ||L(x)|| [mm]\le[/mm] ||x|| und ||R(x)||=||x|| für alle x [mm]\in l_p.[/mm]
>
> FRED
Ja, genau das hab ich versucht, etwas genauer aufzuschreiben.
Ist das, was ich zur Beschränktheit geschrieben habe, falsch?
Und wie sieht es mit der Operatornorm aus?
Und vielleicht könntest du auch sagen, ob das, was ich dazu geschrieben habe, falsch oder richtig ist und vielleicht, wenn es nicht zuviel verlangt ist, deine Antwort ein wenig erläutern, da ich noch nicht ganz auf der Höhe bin.
Gruß und vielen Dank
TheBozz-mismo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:30 Do 17.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo!
> > Was machst Du da ?
> >
> > Man sieht doch auf einen Blick, dass gilt:
> >
> > ||L(x)|| [mm]\le[/mm] ||x|| und ||R(x)||=||x|| für alle x [mm]\in l_p.[/mm]
>
> >
> > FRED
> Ja, genau das hab ich versucht, etwas genauer
> aufzuschreiben.
> Ist das, was ich zur Beschränktheit geschrieben habe,
> falsch?
Nein, falsch ist da nichts , nur etwas kraus und verschwurbelt.
> Und wie sieht es mit der Operatornorm aus?
Fangen wir mit L an:
Für x [mm] \in l_p [/mm] ist
[mm] ||L(x)||^p_p=\summe_{i=2}^{\infty}|x_i|^p \le \summe_{i=1}^{\infty}|x_i|^p=||x||^p_p.
[/mm]
Also:
[mm] ||L(x)||_p \le ||x||_p.
[/mm]
Damit ist [mm] ||L||_p \le [/mm] 1.
Für x=(0,1,0,0,0,..) ist [mm] ||L(x)||_p [/mm] = [mm] ||x||_p.
[/mm]
Fazit: [mm] ||L||_p [/mm] =1.
Für R ist es einfacher. Es gilt: [mm] ||R(x)||_p=||x||_p [/mm] für jedes x [mm] \in l_p. [/mm] Damit ist [mm] ||R||_p [/mm] =1.
FRED
> Und vielleicht könntest du auch sagen, ob das, was ich
> dazu geschrieben habe, falsch oder richtig ist und
> vielleicht, wenn es nicht zuviel verlangt ist, deine
> Antwort ein wenig erläutern, da ich noch nicht ganz auf
> der Höhe bin.
>
> Gruß und vielen Dank
> TheBozz-mismo
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Vielen Dank für deine ausührliche Hilfe!
Gruß
TheBozz-mismo
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