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| Aufgabe | Sei K ein Körper und Sei A e GL (n,K) , U e [mm] K^{n,m} [/mm] und ,V e [mm] K^{m,n}
[/mm]
a) Zeigen Sie : Sei (A+UV) e Gl (n,K) genau dann ,
wenn [mm] I_{m}+VA^{-1}U [/mm] e GL (m,K)
b.) [mm] I_{m}+VA^{-1}U [/mm] e GL (m,K) dann gilt :
[mm] (A+UV)^{-1} =A^{-1}-A^{-1}U(I+VA^{-1}U)^{-1}VA^{-1}
[/mm]
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Mir reicht es schon wenn jemand mir a) beweis ,vielleicht komme ich dann auf b
ich weiß nicht wie ich das beweise soll ,und dass ist bis jetzt einer der aufgabe in linear algebra was ich gar nicht einsehe
hoffe ihr könnt mir helfen
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> Sei K ein Körper und Sei A e GL (n,K) , U e [mm]K^{n,m}[/mm] und ,V
> e [mm]K^{m,n}[/mm]
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> a) Zeigen Sie : Sei (A+UV) e Gl (n,K) genau dann ,
> wenn [mm]I_{m}+VA^{-1}U[/mm] e GL (m,K)
>
> b.) [mm]I_{m}+VA^{-1}U[/mm] e GL (m,K) dann gilt :
> [mm](A+UV)^{-1} =A^{-1}-A^{-1}U(I+VA^{-1}U)^{-1}VA^{-1}[/mm]
Hallo,
zu b)
Hier mußt Du zeigen, daß das Produkt aus [mm] A^{-1}-A^{-1}U(I+VA^{-1}U)^{-1}VA^{-1} [/mm] und A+UV die Einheitsmatrix ergibt.
Vor allem darf man hierbei nicht die Nerven verlieren. Man muß ein bißchen mit den Klammern spielen, aber richtige Tricks sind nicht dabei.
Fang' mal an und zeig, wie weit Du kommst.
Damit hast Du dann auch bereits die Rückrichtung von a) gezeigt.
Gruß v. Angela
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ehmmm ya ,ich hab b probiert,hatte dann ein großen summand ,und wußte nicht mehr weiter :)
könntest mir nicht zeigen den ersten schritt zu aufgabe a ,den Beweis Richtung => Sei [mm] (A+UV)^{-1} [/mm] e Gl n K zeigen ?
(Kommentar ,was ich an Sherman Woodbury nicht ganz so verstehe ist , [mm] (A+UV)^{-1} [/mm] n x n matrix ,im gegensatz [mm] (I+VA^{-1}U)^{-1} [/mm] eine m x m matrix ...
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> ehmmm ya ,ich hab b probiert,hatte dann ein großen summand
> ,und wußte nicht mehr weiter :)
Hallo,
naja, wenn ich nicht sehe, wie weit Du gekommen bist, kann ich Dir ja schlecht helfen - und ich möchte auch nicht alles allein eintippen.
Groß ist's zwischendurch wirklich, ich denke, daran führt kein Weg vorbei.
>
> könntest mir nicht zeigen den ersten schritt zu aufgabe a
> ,den Beweis Richtung => Sei [mm](A+UV)^{-1}[/mm] e Gl n K zeigen ?
Du siehst, daß ich meiner Antwort die Überschrift "zu b)" gegeben habe. Zur Hinrichtung von a) fällt mir leider nichts Zündendes ein.
>
> (Kommentar ,was ich an Sherman Woodbury nicht ganz so
> verstehe ist , [mm](A+UV)^{-1}[/mm] n x n matrix ,im gegensatz
> [mm](I+VA^{-1}U)^{-1}[/mm] eine m x m matrix ...
Nun, es wird ja in der Aufgabe nicht behauptet, daß [mm] (I+VA^{-1}U) [/mm] die inverse Matrix zu A+UV ist. Dies würde in der Tat nicht klappen. Sondern der Zusammenhang ist wie in Aufgabe b) geschildert $ [mm] (A+UV)^{-1} =A^{-1}-A^{-1}U(I+VA^{-1}U)^{-1}VA^{-1} [/mm] $
.
An [mm] (I+VA^{-1}U) [/mm] wir ja noch vorn [mm] A^{-1}U [/mm] und hinten [mm] VA^{-1} [/mm] heranmultipliziert. Dann passen die "Maße".
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Sa 25.08.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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ja ,angela danke für alles ich hab b bewiesen ,komme bei a gar nicht weiter
wie ich A+UV e Glnk zeigen kann das I+VA^-1U e Gl n k ist :(
Sei A+UV e Gl nk => I+UVA^-1 e Gl nk...?
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> ja ,angela danke für alles ich hab b bewiesen ,
Hallo,
prima, daß Dir das gelungen ist!
> komme bei a
> gar nicht weiter
Wie gesagt, kann ich Dir bei dieser Richtung nicht helfen, ich vermute, daß mir Kenntnisse aus dem "Dunstkreis" fehlen.
Falls Dir zu a) nichts mehr einfällt, solltest Du aber unbedingt schreiben, daß die Rückrichtung von a) bereits mit b) gezeigt ist.
Gruß v. Angela
>
> wie ich A+UV e Glnk zeigen kann das I+VA^-1U e Gl n k ist
> :(
>
> Sei A+UV e Gl nk => I+UVA^-1 e Gl nk...?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:20 Fr 31.08.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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